26 Μαρ 2011

Ένα φανταστικό πρόβλημα

Πολλές φορές η χρήση μιγαδικών αριθμών οδηγεί σε πολύ απλοποιημένες λύσεις σε προβλήματα που αφορούν στους πραγματικούς, ακόμα και σε προβλήματα συνδυαστικής, λογικής ή πιθανοτήτων.

Σε ένα κουτί έχουμε 2000 άσπρες μπάλες. Επίσης έχουμε απεριόριστο αριθμό από άσπρες, πράσινες και κόκκινες μπάλες έξω από το κουτί. Κάνουμε το εξής: Τραβάμε δύο μπάλες στην τύχη μέσα από το κουτί.
  • Αν είναι και οι δύο άσπρες ή και οι δύο κόκκινες, τις αντικαθιστούμε με μία πράσινη. 
  • Αν είναι και οι δύο πράσινες, τις αντικαθιστούμε με μία άσπρη και μία κόκκινη. 
  • Αν η μία είναι άσπρη και η άλλη πράσινη, τις αντικαθιστούμε με μία κόκκινη.
  • Αν η μία είναι πράσινη και η άλλη κόκκινη, τις αντικαθιστούμε με μία άσπρη.
  • Αν η μία είναι άσπρη και η άλλη κόκκινη, δεν τις αντικαθιστούμε.
α) Μετά από αρκετές κινήσεις, έχουν απομείνει τρεις μπάλες μέσα στο κουτί. Να αποδειχθεί ότι η μία είναι οπωσδήποτε πράσινη.
β) Είναι δυνατό να μείνει μόνο μία μπάλα μέσα στο κουτί;



Το πρόβλημα αυτό ήταν ένα από τα προβλήματα του Εθνικού Μαθηματικού Διαγωνισμού της Βουλγαρίας το 2000.

Πηγή: Mathematical Olympiads, 2000-2001: problems and solutions from around the world των T Andreescu, Z Feng and G Lee Jr.

2 σχόλια:

  1. Έστω οι τρείς τελεστές Α,Κ,Π (μπάλες) όπου
    (1) ΑΑ=ΚΚ=Π
    (2) ΠΠ=ΑΚ
    (3) ΑΠ=Κ
    (4) ΚΠ=Α
    (5) ΑΚ=ΑΚ

    Το "γινόμενο" δύο τελεστών ΧΥ δηλώνει ότι επιλέχθηκε η Χ και η Υ μπάλα χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξη.
    Άρα ο μεταθέτης δύο τελεστών είναι μηδέν.
    Επίσης ο τελεστής ΑΚ=Ι είναι μοναδιαίος επειδή (ΑΚ)Α=Κ(ΑΑ)=ΚΠ=Α, (ΑΚ)Π=Α(ΚΠ)=ΑΑ=Α και (ΑΚ)Κ=Α(ΚΚ)=ΑΠ=Κ.
    (Σημείωση: Όταν ο Ι πρέπει να περιγραφεί με όρους μπαλών θα γράφεται ως ΑΚ)

    Αν έχουμε εν γένει Ν άσπρες μπάλες τότε το "περιεχόμενο" του μπολ γράφεται ως ΑΑ...Α=Α^Ν.
    Έστω Ν=4*μ+ν όπου μ,ν φυσικοί και ν=0 ή 1 ή 2 ή 3, τότε

    Α^Ν=Α^(4*μ)Α^ν=Π^(2*μ)Α^ν=(ΑΚ)^μΑ^ν=Ι^μΑ^ν=ΙΑ^ν.

    1. ν=0 -> Α^Ν=Ι=ΑΚ μένουν στο τέλος 2 μπάλες η Άσπρη και η Κόκκινη.
    2. ν=1 -> Α^Ν=ΙΑ=Α μένει στο τέλος 1 μπάλα η Άσπρη.
    3. ν=2 -> Α^Ν=ΙΑ^2=ΙΠ=Π μένει στο τέλος 1 μπάλα η Πράσινη.
    4. ν=3 -> Α^Ν=ΙΑ^3=ΙΠΑ=ΙΚ=Κ μένει στο τέλος 1 μπάλα η Κόκκινη.

    Συνεπώς (εκφώνηση) αν Ν=2000->ν=0 μένουν στο τέλος 2 μπάλες η Άσπρη και η Κόκκινη.
    Επίσης ΑΚ=Ι(ΑΚ)=(ΑΚ)(ΑΚ)= [ (ΑΑ)(ΚΚ)=ΑΑΠ ή (ΑΑ)(ΚΚ)=ΠΚΚ] δηλαδή όταν το μπολ είχε τρείς μπάλες τότε αυτές θα ήταν είτε 2 Άσπρες
    και μία Πράσινη είτε 2 Κόκινες και μία Πράσινη. Πάντως απαραιτήτως 1 Πράσινη!

    Άν η λύση δεν ικανοποιεί τον τίτλο του προβλήματος τότε θέτω Κ=j A=-j Π=-1 (AK=1).
    Ομολογώ ότι η εκφώνηση του προβλήματος είναι ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ!!!! Συγχαρητήρια.

    JR

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Τα συγχαρητήρια ανήκουν σε σένα για την εκπληκτική λύση!

    Ίσως θα ήταν πιο σαφές αν σημειώναμε ότι με το συμβολισμό που έχεις κάνει (j για κάθε κόκκινη, -j για κάθε άσπρη, -1 για κάθε πράσινη), το γινόμενο των αριθμών για όλες τις μπάλες αρχικά μέσα στο κουτί είναι (-j)^2000 = 1.

    Το κλειδί είναι ότι κάθε ενέργεια που κάνουμε διατηρεί αυτόν τον αριθμό αναλλοίωτο.

    Άρα όταν έχουν μείνει τρεις και δεδομενου ότι το γινόμενο πρέπει να είναι 1, θα πρέπει η μία να είναι πράσινη αλλιώς το γινόμενο θα είναι j ή -j.

    Μπράβο και πάλι για την καταπληκτική λύση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή