15 Ιουν 2011

Άθροισμα θετικών

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο από 2011 αριθμούς με την εξής ιδιότητα:

το άθροισμα οποιωνδήποτε 1005 από αυτούς τους αριθμούς είναι μικρότερο από το άθροισμα των υπόλοιπων 1006.

Να δειχθεί ότι όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί.

10 Ιουν 2011

Άθροισμα παραγοντικών

Ας επανέλθουμε σε πιο ομαλά προβλήματα.

Να βρεθεί μία κλειστή έκφραση για το άθροισμα:
1×1! + 2×2! + 3×3! + ... + n×n!

5 Ιουν 2011

Παραγοντικό υψωμένο σε παραγοντικό

Να αποδειχθεί ότι ο (n!)(n-1)! διαιρεί τον n!!

Για παράδειγμα για n = 3 έχουμε
(3!)(3-1)! = 62 = 36
3!! = 6! = 720

Ο 36 διαιρεί τον 720.

30 Μαΐ 2011

Μία περίεργη ακολουθία

Ορίζουμε την εξής ακολουθία αριθμών:
f(0) = 0
f(1) = 1
f(n) = ο ελάχιστος ακέραιος, μεγαλύτερος του f(n-1) και τέτοιος, ώστε να μη σχηματίζει αριθμητική πρόοδο με οποιουσδήποτε δύο προηγούμενους αριθμούς.

Η ακολουθία αυτή ξεκινά ως εξής: 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, ...

Ποιος είναι ο f(4100);

25 Μαΐ 2011

Πυθαγόρεια τριπλέτα

Ας είναι οι x, y, z τρεις ακέραιοι, που ικανοποιούν το πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή
x2 + y2 = z2.

Να δειχθεί ότι το γινόμενο xyz διαιρείται από τον 60.