tag:blogger.com,1999:blog-78178847936798621222024-03-22T07:25:35.062+03:00Ακόμα ένα μαθηματικό blogcsarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.comBlogger41125tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-7366472315975680932011-06-15T01:15:00.000+03:002011-11-14T19:00:53.911+03:00Άθροισμα θετικώνΑς υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο από 2011 αριθμούς με την εξής ιδιότητα: <br />
<br />
το άθροισμα οποιωνδήποτε 1005 από αυτούς τους αριθμούς είναι μικρότερο από το άθροισμα των υπόλοιπων 1006.<br />
<br />
Να δειχθεί ότι όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί.csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-27309586690355785062011-06-10T06:10:00.003+03:002011-11-29T09:59:21.320+03:00Άθροισμα παραγοντικώνΑς επανέλθουμε σε πιο ομαλά προβλήματα.<br />
<br />
Να βρεθεί μία κλειστή έκφραση για το άθροισμα:<br />
1×1! + 2×2! + 3×3! + ... + n×n!csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-88187535968348810262011-06-05T06:04:00.001+03:002011-06-05T06:04:00.143+03:00Παραγοντικό υψωμένο σε παραγοντικόΝα αποδειχθεί ότι ο (n!)<sup>(n-1)!</sup> διαιρεί τον n!!<br />
<br />
Για παράδειγμα για n = 3 έχουμε<br />
(3!)<sup>(3-1)!</sup> = 6<sup>2</sup> = 36<br />
3!! = 6! = 720 <br />
<br />
Ο 36 διαιρεί τον 720.<br />
<div><br />
</div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-3527588476843642612011-05-30T06:00:00.000+03:002011-05-30T06:00:01.516+03:00Μία περίεργη ακολουθίαΟρίζουμε την εξής ακολουθία αριθμών:<br />
f(0) = 0<br />
f(1) = 1<br />
f(n) = ο ελάχιστος ακέραιος, μεγαλύτερος του f(n-1) και τέτοιος, ώστε να μη σχηματίζει αριθμητική πρόοδο με οποιουσδήποτε δύο προηγούμενους αριθμούς.<br />
<br />
Η ακολουθία αυτή ξεκινά ως εξής: 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, ...<br />
<br />
Ποιος είναι ο f(4100);csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-16454833316711163022011-05-25T05:54:00.002+03:002011-05-25T05:54:00.762+03:00Πυθαγόρεια τριπλέταΑς είναι οι x, y, z τρεις ακέραιοι, που ικανοποιούν το πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή<br />
x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = z<sup>2</sup>.<br />
<br />
Να δειχθεί ότι το γινόμενο xyz διαιρείται από τον 60.csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-82998811832493080592011-05-20T05:51:00.005+03:002011-05-20T05:51:00.888+03:00Δύο φορές κορώναΚάποιοι αναγνώστες διαμαρτυρήθηκαν ότι τα προβλήματα που θέτω είναι σχετικά εύκολα. Για αυτό θα θέσω μερικά πιο δύσκολα προβλήματα σε αυτό και τα επόμενα ένα-δύο posts.<br />
<br />
Ρίχνουμε ένα νόμισμα 100 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα ότι δε θα πάρουμε ποτέ δύο συνεχόμενες φορές κορώνα;csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-76774326434478890682011-05-15T01:41:00.000+03:002011-11-29T10:00:24.894+03:00Τριγωνικοί αριθμοίΝα δειχθεί ότι κάθε αριθμός που αποτελείται αποκλειστικά από 1 όταν γράφεται με βάση αρίθμησης το 9 είναι τριγωνικός αριθμός.<br />
<br />
<div>Υπενθυμίζω ότι τριγωνικοί είναι οι αριθμοί 1, 3, 6, 10, 15, ... με γενικό τύπο $T(n)=\frac{n(n+1)}{2}$.</div><br />
<div>Για παράδειγμα ο αριθμός (111)<sub>9</sub> είναι ο 9<sup>2</sup> + 9<sup>1</sup> + 1 = 91 = Τ(13).</div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-56194356310370518632011-05-10T00:34:00.002+03:002011-05-10T00:34:00.479+03:00Δυνάμεις του 7Όπως φάνηκε και από το post <a href="http://zenzizenzizenzics.blogspot.com/2011/02/7.html">"Ο κανόνας του 7"</a>, το 7 είναι μία από τις αδυναμίες μου.<br />
<br />
Ποια είναι τα τρία τελευταία ψηφία του 7<sup>10001</sup>;<br />
<br />
Και με λίγη περισσότερη δουλειά ποια είναι τα τρία τελευταία ψηφία του 7<sup>2011</sup>;csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-48843105887719554102011-05-05T05:27:00.002+03:002011-05-05T05:27:00.112+03:00Ο ουρανοξύστηςΤο ασανσέρ ενός ουρανοξύστη βρίσκεται στον 87ο όροφο. Κατεβαίνει στον 1ο όροφο και κάνει συνολικά 32 στάσεις σε διάφορους ορόφους (συμπεριλαμβανομένων του 87ου και του 1ου).<br />
<div><br />
</div><div>Να δειχθεί ότι ασανσέρ σταμάτησε <b>σίγουρα</b> σε δύο ορόφους των οποίων οι αριθμοί διέφεραν κατά 9, 10 ή 19.</div><div><br />
</div><div><br />
</div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-90125900202340884402011-04-30T01:03:00.001+03:002021-09-15T07:45:58.156+03:00Η Αρχή του ΠεριστερώναΗ Αρχή του Περιστερώνα (pigeon principle) αλλιώς γνωστή ως Αρχή του Συρταριού (Schubfachprinzip στα γερμανικά ή principe des tiroirs στα γαλλικά) ή Αρχή του Dirichlet λέει ότι<br />
<br />
<b>Αρχή του Περιστερώνα 1:</b><i> Αν n περιστέρια τοποθετηθούν σε m<n φωλιές, τότε σε τουλάχιστον μία φωλιά υπάρχουν τουλάχιστον 2 περιστέρια.</i><br />
<br />
Μία πιο επίσημη διατύπωση είναι (|<i>A</i>| εκφράζει το πλήθος των στοιχείων του πεπερασμένου συνόλου <i>A</i>):<br />
<br />
<b>Αρχή του Περιστερώνα 2:</b><i> Για τα πεπερασμένα σύνολα A και B, υπάρχει συνάρτηση 1-1, f: A → B , αν-ν </i>|<i>A<span class="Apple-style-span" style="font-style: normal;">|</span> = <span class="Apple-style-span" style="font-style: normal;">|</span>B<span class="Apple-style-span" style="font-style: normal;">|</span>.</i><br />
<br />
Αν και η αρχή αυτή είναι πολύ απλή και προφανής, μερικές φορές οδηγεί σε αντι-διαισθητικά αποτελέσματα ή τουλάχιστον σε αποτελέσματα που δεν είναι προφανή. Μερικά παραδείγματα είναι τα εξής:<br />
<br />
<b>Παράδειγμα 1</b><br />
Στη λύση του προβλήματος <a href="http://zenzizenzizenzics.blogspot.com/2011/01/blog-post_1796.html" target="_blank">Η λειψή σκακιέρα</a> ο Messie χρησιμοποίησε τη Αρχή του Περιστερώνα ("περιστέρια": τα ντόμινο, "φωλιές": τα λευκά τετράγωνα).<br />
<br />
<br />
<b>Παράδειγμα 2</b><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; margin: 0px;">Στη λύση του προβλήματος <a href="http://zenzizenzizenzics.blogspot.com/2011/04/blog-post_25.html" target="_blank">Υποσύνολα με ίδιο άθροισμα</a>, ο JR χρησιμοποίησε επίσης την Αρχή του Περιστερώνα ("περιστέρια": το πλήθος των αθροισμάτων των υποσυνόλων, "φωλιές": τα δυνατά αθροίσματα).</div><br />
<br />
<b>Παράδειγμα 3</b><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; margin: 0px;"><i>Σε ένα δωμάτιο υπάρχουν n άνθρωποι, άλλοι χαιρετιούνται με χειραψία κι άλλοι όχι. Τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο άνθρωποι που έχουν κάνει τον ίδιο αριθμό χειραψιών.</i></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; margin: 0px;">Οι δυνατές τιμές χειραψιών για έναν άνθρωπο είναι 0, 1, ..., <i>n</i>-1. Αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν δύο άνθρωποι που έχουν κάνει τον ίδιο αριθμό χειραψιών, τότε υπάρχει ένας άνθρωπος που έχει κάνει <i>n</i>-1 χειραψίες (δηλαδή με όλους) και ένας με 0 χειραψίες, που είναι άτοπο.</div><br />
<b>Παράδειγμα 4</b><br />
<i>Ας είναι n θετικοί αριθμοί x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub>. Τότε σίγουρα η διαφορά δύο από αυτούς διαιρείται από το n-1.</i><br />
<br />
Αν συμβολίσουμε με <i>r<sub>i</sub></i> το υπόλοιπο της διαίρεσης του <i>x<sub>i</sub></i> με τον <i>n</i>-1, τότε οι <i>r<sub>i</sub></i> μπορούν να πάρουν τις τιμές 0, 1, 2, ..., <i>n</i>-2. Δηλαδή υπάρχουν <i>n</i>-1 δυνατές τιμές για τους <i>r<sub>i</sub></i> αλλά υπάρχουν συνολικά <i>n</i> αριθμοί <i>r<sub>i</sub></i> . Από την Αρχή του Περιστερώνα, δύο από αυτούς, έστω οι <i>r<sub>i</sub></i> και <i>r<sub>j</sub></i>, είναι ίσοι. Δηλαδή οι <i>x<sub>i</sub></i> και <i>x<sub>j</sub></i> είναι ισοϋπόλοιποι (ως προς τη διαίρεση με τον <i>n</i>-1) και συνεπώς η διαφορά τους διαιρείται ακριβώς από τον <i>n</i>-1.<br />
<br />
<br />
Μία γενικευμένη εκδοχή της αρχής του Περιστερώνα είναι η εξής:<br />
<br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; margin: 0px;"><b>Αρχή του Περιστερώνα 3:</b><i> Αν n περιστέρια τοποθετούνται σε m φωλιές, τότε τουλάχιστον μία φωλιά περιέχει τουλάχιστον $\lceil\frac{n}{m}\rceil$ περιστέρια και τουλάχιστον μία φωλιά περιέχει το πολύ <span class="Apple-style-span" style="font-style: normal;"><i>$\lfloor\frac{n}{m}\rfloor$</i></span> περιστέρια.</i></div><br />
(Στο παραπάνω $\lceil x\rceil$ εκφράζει το μικρότερο ακέραιο που είναι $\geq x$ ενώ $\lfloor x\rfloor$ εκφράζει το μεγαλύτερο ακέραιο που είναι $\leq x$. Δηλαδή ισχύει $\lfloor x\rfloor\leq x\leq\lceil x\rceil$ με $\lfloor x\rfloor=x=\lceil x\rceil$ αν-ν ο $x$ είναι ακέραιος.)<br />
<br />
Άλλες γενικεύσεις περιλαμβάνουν<br />
- σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων, <br />
- τη θεωρία πιθανοτήτων (τα περιστέρια τοποθετούνται σε κάθε φωλιά με συγκεκριμένη πιθανότητα)<br />
και άλλες<br />
<br />
<b>Πρόβλημα</b><br />
Ας είναι <i>S </i>= {1,2,...,100}. Τότε με οποιονδήποτε τρόπο κι αν επιλέξουμε 55 από τα στοιχεία του <i>S</i>, θα υπάρχουν<br />
<ul><li>δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 9,</li>
<li>δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 10,</li>
<li>δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 12,</li>
<li>δύο ζεύγη αριθμών που διαφέρουν κατά 13.</li>
</ul>Το περίεργο είναι ότι δεν υπάρχουν απαραίτητα δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 11!csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com9tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-72287676494425095952011-04-25T06:00:00.000+03:002011-11-29T10:04:17.669+03:00Υποσύνολα με το ίδιο άθροισμα<h2><span class="Apple-style-span" style="font-size: small; font-weight: normal;">Παίρνουμε 10 διαφορετικούς ακεραίους από το 1 μέχρι και το 100. Ζητούμε να εξετάσουμε αν από αυτό το σύνολο με τους 10 διαφορετικούς ακεραίους μπορούμε να βρούμε </span><span class="Apple-style-span" style="font-size: small; font-weight: normal;"><b>πάντα</b></span><span class="Apple-style-span" style="font-size: small; font-weight: normal;"> δύο υποσύνολα, το άθροισμα των στοιχείων των οποίων να είναι ίσο.</span></h2><br />
Για παράδειγμα ας είναι S = {1, 4, 5, 14, 17, 33, 41, 49, 68, 79, 88}.<br />
Τότε αν θεωρήσουμε τα υποσύνολα Α<sub>1</sub> και Α<sub>2</sub> του S με Α<sub>1</sub> = {5, 14, 17, 33} και Α<sub>2</sub> = {1, 68}, παρατηρούμε ότι<br />
<div style="text-align: center;">5+14+17+33 = 1+68. </div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-30679285860304696922011-04-20T01:04:00.001+03:002011-04-23T21:11:00.848+03:00Η τετράγωνη τούρταΗ Ιωάννα έφτιαξε μία τετράγωνη τούρτα για τα γενέθλιά του Δημήτρη, την οποία είχε αλείψει με σοκολάτα από πάνω και στο πλάι.<br />
<br />
Οι δικαιούχοι κομματιού τούρτας ήταν 9 (ο Δημήτρης και οι 8 φίλοι του).<br />
<br />
Πώς μπορούμε να κόψουμε την τούρτα, ώστε να πάρουν όλοι την ίδια ποσότητα τούρτας και την ίδια ποσότητα σοκολάτας; (ακριβέστερα πώς πρέπει να κοπεί η τούρτα ώστε να πάρουν όλοι τον ίδιο όγκο τούρτας και την ίδια επιφάνεια σοκολάτας)csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-12309949822020256142011-04-15T01:24:00.004+03:002011-04-16T15:50:45.542+03:00Ψηφιακό άθροισμα δίδυμων πρώτωνΤο <b><a href="http://zenzizenzizenzics.blogspot.com/p/glossary.html#digisum">ψηφιακό άθροισμα</a></b> ενός αριθμού υπολογίζεται αν υπολογίσουμε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού. Αν το άθροισμα δεν είναι μονοψήφιος, τότε συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να φτάσουμε σε μονοψήφιο αριθμό. Για παράδειγμα το ψηφιακό άθροισμα του 4857 είναι (4+8+5+7 = 24 → 2+4 =) 6.<br />
<br />
<b><a href="http://zenzizenzizenzics.blogspot.com/p/glossary.html#primepair">Δίδυμοι πρώτο</a>ι</b> είναι δύο πρώτοι που διαφέρουν κατά 2. Για παράδειγμα οι 5 και 7 είναι δίδυμοι πρώτοι.<br />
<br />
Να δειχθεί ότι το ψηφιακό άθροισμα του γινομένου δύο δίδυμων πρώτων (με εξαίρεση το ζεύγος (3,5)) είναι πάντα ίσο με 8.<br />
<br />
Για παράδειγμα για το ζεύγος (29,31) έχουμε 29×31 = 899 με ψηφιακό άθροισμα <br />
(8+9+9 = 26 → 2+6 = ) 8.csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-34704074227932717642011-04-10T01:23:00.001+03:002011-04-10T01:23:00.562+03:00π ≈ 256/81Μία προσέγγιση του $$\pi$$, που χρησιμοποιούσαν συστηματικά οι αρχαίοι Αιγύπτιοι είναι η<br />
<div style="text-align: center;">$$ \pi = \frac{256}{81}$$</div>Είναι ενδιαφέρον πώς οι αρχαίοι Αιγύπτιοι κατέληξαν σε αυτήν την προσέγγιση.<br />
Στο Σχ. (α) φαίνεται ένας κύκλος με διάμετρο 9 εγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς 9. Στο Σχ. (β) φαίνεται ένα (όχι κανονικό) οκτάπλευρο που έχει εμβαδό περίπου ίσο με αυτό του κύκλου.<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikLPDj2kgXv0zKG-2_TVaL15xmp95kLcAdaVXmT0vi-RPClFWb5z_vTbafBFMhTYxxfMN52pSMbCxEViuifEw2-waIG45jORqtxoT8jGWRHRYuKNJwejinZdqiLF4v6phG7u9avSFz9p77/s1600/egypt_pi.gif" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikLPDj2kgXv0zKG-2_TVaL15xmp95kLcAdaVXmT0vi-RPClFWb5z_vTbafBFMhTYxxfMN52pSMbCxEViuifEw2-waIG45jORqtxoT8jGWRHRYuKNJwejinZdqiLF4v6phG7u9avSFz9p77/s400/egypt_pi.gif" width="386" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b>Σχήμα</b></td></tr>
</tbody></table>Εφόσον το τετράγωνο έχει εμβαδό 9<sup>2</sup> = 81, το εμβαδό του 8πλεύρου είναι (Σχ. (γ))<br />
<div style="text-align: center;">$$ 81-4\times\frac12\times3\times3 = \frac63$$</div>Για ευκολία (και αφού ούτως ή άλλως μιλάμε πάντα προσεγγιστικά) ας πούμε ότι το εμβαδό του 8πλεύρου είναι ίσο με 64, δηλαδή είναι ίσο με το εμβαδό ενός τετραγώνου πλευράς 8 (Σχ. (δ))<br />
<br />
Καταλήξαμε δηλαδή στο ότι <br />
<div style="text-align: center;">εμβαδό του κύκλου ≈ εμβαδό οκταπλεύρου ⇔</div><div style="text-align: center;">$$\pi\left(\frac92\right)^2\approx 64$$ ή $$\pi\approx\frac{256}{81}$$</div><br />
Η τιμή αυτή είναι περίπου ίση με 3,1605 και είναι κατά περίπου 0,6% μεγαλύτερη από την κανονική.<br />
<br />
Πηγή: <a href="http://www.amazon.com/gp/product/048624315X?ie=UTF8&tag=yetanothermat-20&linkCode=as2&camp=1789&creative=390957&creativeASIN=048624315X">Mathematics in the time of the Pharaohs</a> του R.J. Gillings.<img alt="" border="0" height="1" src="http://www.assoc-amazon.com/e/ir?t=yetanothermat-20&l=as2&o=1&a=048624315X" style="border: none !important; margin: 0px !important;" width="1" />csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-15660933427817283982011-04-05T01:22:00.006+03:002011-04-20T08:38:32.497+03:00Κορώνα ή γράμματαΚάθεσαι σε ένα σκοτεινό δωμάτιο και μπροστά σου βρίσκεται ένα τραπέζι με 12 κέρματα από τα οποία τα 7 δείχνουν κορώνα και τα 5 γράμματα. <br />
<br />
Πώς μπορείς να ταξινομήσεις τα 12 κέρματα σε 2 στήλες, ώστε η κάθε μία να έχει τον ίδιο αριθμό από κέρματα "κορώνα";<br />
<br />
Μπορείς να γυρίσεις ένα ή περισσότερα κέρματα αλλά δεν μπορείς να καταλάβεις αν κάποιο είναι κορώνα ή γράμματα κοιτάζοντάς το (σκοτεινό δωμάτιο λέμε) ή ψηλαφίζοντάς το ή με κάποιον άλλο τρόπο.<br />
<br />
Πηγή: <a href="http://www.amazon.com/gp/product/0871207753?ie=UTF8&tag=yetanothermat-20&linkCode=as2&camp=1789&creative=390957&creativeASIN=0871207753" target="_blank">Math wonders to inspire teachers and students</a><img alt="" border="0" height="1" src="http://www.assoc-amazon.com/e/ir?t=yetanothermat-20&l=as2&o=1&a=0871207753" style="border: none !important; margin: 0px !important;" width="1" /> του A.S. Posamentier.csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-34434045488163005002011-03-31T01:21:00.001+03:002011-03-31T01:21:00.390+03:00Το μεγάλο παζάριΟι κάπως μεγαλύτεροι στην ηλικία ίσως θυμούνται το τηλεπαιχνίδι "Το μεγάλο παζάρι" και το Ζονκ. Μέρος αυτού του παιχνιδιού ήταν το εξής:<br />
<br />
Υπάρχουν τρεις κουρτίνες. Πίσω από τη μία κουρτίνα υπάρχει ένα μεγάλο δώρο (π.χ. αυτοκίνητο) ενώ πίσω από τις άλλες δύο υπάρχει ο Ζονκ (δηλ. κανένα δώρο).<br />
- Ο παίκτης διαλέγει μία κουρτίνα.<br />
- Ο παρουσιαστής ανοίγει μία από τις δύο κουρτίνες που δεν έχει διαλέξει ο παίκτης και δείχνει το Ζονκ.<br />
- Ο παρουσιαστής τώρα ρωτά τον παίκτη αν θέλει να αλλάξει την επιλογή του και να διαλέξει την άλλη κουρτίνα.<br />
<br />
Το ερώτημα είναι: αν ο παίκτης αλλάξει επιλογή, τότε έχει περισσότερες, λιγότερες ή τις ίδιες πιθανότητες να κερδίσει;csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-57391506542196803752011-03-26T01:20:00.003+03:002011-04-11T09:31:29.128+03:00Ένα φανταστικό πρόβλημαΠολλές φορές η χρήση μιγαδικών αριθμών οδηγεί σε πολύ απλοποιημένες λύσεις σε προβλήματα που αφορούν στους πραγματικούς, ακόμα και σε προβλήματα συνδυαστικής, λογικής ή πιθανοτήτων.<br />
<br />
Σε ένα κουτί έχουμε 2000 άσπρες μπάλες. Επίσης έχουμε απεριόριστο αριθμό από άσπρες, πράσινες και κόκκινες μπάλες έξω από το κουτί. Κάνουμε το εξής: Τραβάμε δύο μπάλες στην τύχη μέσα από το κουτί.<br />
<ul><li>Αν είναι και οι δύο άσπρες ή και οι δύο κόκκινες, τις αντικαθιστούμε με μία πράσινη. </li>
<li>Αν είναι και οι δύο πράσινες, τις αντικαθιστούμε με μία άσπρη και μία κόκκινη. </li>
<li>Αν η μία είναι άσπρη και η άλλη πράσινη, τις αντικαθιστούμε με μία κόκκινη.</li>
<li>Αν η μία είναι πράσινη και η άλλη κόκκινη, τις αντικαθιστούμε με μία άσπρη.</li>
<li>Αν η μία είναι άσπρη και η άλλη κόκκινη, δεν τις αντικαθιστούμε.</li>
</ul><div>α) Μετά από αρκετές κινήσεις, έχουν απομείνει τρεις μπάλες μέσα στο κουτί. Να αποδειχθεί ότι η μία είναι οπωσδήποτε πράσινη.</div><div>β) Είναι δυνατό να μείνει μόνο μία μπάλα μέσα στο κουτί;<br />
<br />
<br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><br />
</div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">Το πρόβλημα αυτό ήταν ένα από τα προβλήματα του Εθνικού Μαθηματικού Διαγωνισμού της Βουλγαρίας το 2000.</div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><br />
</div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">Πηγή: <a href="http://www.amazon.com/gp/product/088385810X?ie=UTF8&tag=yetanothermat-20&linkCode=as2&camp=1789&creative=390957&creativeASIN=088385810X" target="_blank">Mathematical Olympiads, 2000-2001: problems and solutions from around the world</a><img alt="" border="0" height="1" src="http://www.assoc-amazon.com/e/ir?t=yetanothermat-20&l=as2&o=1&a=088385810X" style="border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; cursor: move; margin-bottom: 0px !important; margin-left: 0px !important; margin-right: 0px !important; margin-top: 0px !important;" width="1" /> των T Andreescu, Z Feng and G Lee Jr.</div></div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-63403394413136543222011-03-21T01:29:00.002+03:002011-04-27T09:21:39.905+03:00Μη-γραμμικό σύστημαΠοιες είναι οι λύσεις του συστήματος<br />
<div style="text-align: center;">$\frac{4x^2}{1+4x^2}=y$</div><div style="text-align: center;">$\frac{4y^2}{1+4y^2}=z$</div><div style="text-align: center;">$\frac{4z^2}{1+4z^2}=x$</div><div style="text-align: left;"><br />
</div><div style="text-align: left;"><br />
</div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com11tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-72471146814353292442011-03-16T01:17:00.002+03:002011-03-16T01:17:00.207+03:00Συνάρτηση ακεραίωνΥπάρχει συνάρτηση f: N<sup>*</sup> → N<sup>*</sup>, τέτοια ώστε <br />
<br />
<div style="text-align: center;">f(f(n-1)) = f(n+1) - f(n);</div><br />
για κάθε n ≥ 2; To N<sup>*</sup> είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων, δηλαδή N<sup>*</sup> = {1, 2, ...}.csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-3000174045874902362011-03-11T01:15:00.002+03:002011-03-11T01:15:00.874+03:00Ένα φαινομενικά δύσκολο πρόβλημαΟρίζουμε <br />
<br />
$q(n)=\left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor}\right\rfloor,\qquad n=1,2,\ldots,$<br />
στην οποία $\lfloor x\rfloor$ υπονοεί το "ακέραιο μέρος του $x$".<br />
<br />
Για ποιους $n$ ισχύει $q(n) > q(n+1)$;csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-87685736083307854012011-03-07T01:12:00.002+03:002011-11-29T10:01:27.927+03:00Ένα στα γρήγοραΓια την f που ορίζεται στους φυσικούς έχουμε<br />
<div style="text-align: center;">f(1) + f(2) + ... + f(n) = n<sup>2</sup>f(n).</div><div>με f(1) = 2011. Ποια είναι η τιμή του f(2011);</div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-57851079905054222172011-03-02T01:10:00.002+03:002011-11-29T10:02:13.919+03:00Ένα πρόβλημα γεωμετρίαςΤο Ε είναι αυθαίρετο σημείο της πλευράς ΑΒ του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ.<br />
<br />
Από το Γ φέρνουμε την παράλληλη στην ΔΕ και παίρνουμε σε αυτή δύο σημεία Ζ και Η εκατέρωθεν του Γ με ΗΖ=ΔΕ. Το ΕΖΗΔ είναι φυσικά παραλληλόγραμμο.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVv6RpIIHcPUTTO9PQ7oRHbf_qJJvTqJPYnWFLmJuyGkaIj0El9zHCj77f8HLPXeNAgyNDPPsZF9xxjZuRY1lUE1C0cVuonqxkCcZ41lK1v7IqnVAxXm31sIlzwiKdF11aIRGuZn5a0RxS/s1600/parallareas_trans.png" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="162" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVv6RpIIHcPUTTO9PQ7oRHbf_qJJvTqJPYnWFLmJuyGkaIj0El9zHCj77f8HLPXeNAgyNDPPsZF9xxjZuRY1lUE1C0cVuonqxkCcZ41lK1v7IqnVAxXm31sIlzwiKdF11aIRGuZn5a0RxS/s320/parallareas_trans.png" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b>Σχήμα 1.</b></td></tr>
</tbody></table>Αν το εμβαδό του ΑΒΓΔ είναι 1, πόσο είναι το εμβαδό του ΕΖΗΔ;<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-52257388004838775192011-02-25T02:40:00.005+03:002011-03-11T17:21:06.677+03:00π = 2<div style="text-align: right;"></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ8RY-UFvGH9GU1KZkiVoqI9D99Z9ca2TtFbIPMYkPEjX1yYnWuvbSmoEgalb8-PIahjKOJ7fB54sA0hAxVhAfbcTo3L105XnKusXccVxL9W6MgaD_QgarCD-N_-WRc7XVh9OW2R7sPo_I/s1600/piequals2_trans.png" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ8RY-UFvGH9GU1KZkiVoqI9D99Z9ca2TtFbIPMYkPEjX1yYnWuvbSmoEgalb8-PIahjKOJ7fB54sA0hAxVhAfbcTo3L105XnKusXccVxL9W6MgaD_QgarCD-N_-WRc7XVh9OW2R7sPo_I/s1600/piequals2_trans.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b>Σχήμα 1.</b></td></tr>
</tbody></table>Στο Σχ. 1α, τα μικρότερα ημικύκλια εφάπτονται το ένα στο άλλο και το πρώτο και τελευταίο εφάπτονται στα σημεία Α και Β του μεγαλύτερου ημικυκλίου αντίστοιχα.<br />
<br />
Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι το άθροισμα των μηκών των μικρών ημικυκλίων ισούται με το μήκος του μεγάλου ημικυκλίου:<br />
<div style="text-align: center;">$\frac{\pi}{2}\left(\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon\right)=\frac{\pi}{2}AB$</div>Το ίδιο ισχύει φυσικά και για το Σχ. 1β στο οποίο οι ακτίνες των μικρών ημικυκλίων είναι πολύ μικρές.<br />
<br />
Όμως καθώς οι ακτίνες των μικρών ημικυκλίων μικραίνουν αυθαίρετα, κάθε ημικύκλιο τείνει προς τη διάμετρό του και συνεπώς το άθροισμά των μηκών του ημικυκλίων τείνει προς την ΑΒ. Δηλαδή<br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;">$AB = \frac{\pi}{2}AB\Rightarrow\pi=2.$</div><div><br />
</div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-30685692097584980232011-02-20T01:37:00.002+03:002011-02-20T01:37:00.420+03:00Ο κανόνας του 7Δεν ξέρω τι μαθαίνουν σήμερα τα παιδιά στο σχολείο αλλά όταν ήμουν εγώ μαθητής, μας είχαν μάθει ότι "κανόνας/κριτήριο διαιρετότητας για το 7, (όπως και για άλλους αριθμούς) ΔΕΝ υπάρχει".<br />
<br />
Για τους άλλους αριθμούς δε με ένοιαξε τόσο πολύ. Γιατί να με νοιάζει αν υπάρχει κανόνας π.χ. για το 47; Αλλά για το 7 με είχε νοιάξει... Δεν είμαι σίγουρος αν η δασκάλα μου δεν ήξερε τον κανόνα ή απλά δεν ήθελε να μας μπερδέψει. Πάντως ο κανόνας για το 7 δεν είναι ιδιαίτερα σύνθετος.<br />
<br />
Φυσικά το θέμα της διαιρετότητας των αριθμών είναι ένα θέμα ας πούμε παρωχημένο σήμερα (με την εξέλιξη των υπολογιστών, ποιος χρειάζεται να θυμάται τέτοιους κανόνες) και ίσως δεν υπάρχει λόγος να διδάσκεται σήμερα.<br />
<br />
Παρόλα αυτά θέλω να μοιραστώ τον κανόνα του 7 για τους εξής λόγους<br />
<ul><li>ο κανόνας του 7 φαίνεται κατ' αρχάς αλλοπρόσαλλος αλλά και μαγικός με τον τρόπο στον οποίο φτάνει στο αποτέλεσμα</li>
<li>βασίζεται σε μία πολύ ευρηματική απόδειξη</li>
<li>γιατί θέλω να κλείσω αυτήν την πληγή από το παρελθόν, βρε αδερφέ</li>
</ul><h2>Ο κανόνας του 7</h2>Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού που θέλουμε να ελέγξουμε και αφαιρούμε το διπλάσιο του ψηφίου από το λειψό αριθμό. Αν το αποτέλεσμα διαιρείται από το 7, τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται από το 7. Αν το αποτέλεσμα είναι μεγάλος αριθμός και δεν μπορούμε να αποφανθούμε, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία.<br />
<br />
<h2>Παράδειγμα</h2>Θα ελέγξουμε τον 24633<br />
<ul><li>2463 - 3×2 = 2457</li>
<li>245 - 7×2 = 231</li>
<li>23 - 1×2 = 21</li>
</ul><div>Άρα ο 24633 διαιρείται από το 7.</div><div><br />
Θα είχε ενδιαφέρον αν κάποιος μπορούσε να εξηγήσει πώς προκύπτει αυτός ο κανόνας διαιρετότητας.<br />
<br />
</div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-31371968251041036152011-02-15T01:34:00.003+03:002011-02-16T12:08:38.036+03:00Ο νόμος του Benford<span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px;"></span><br /><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Ο νόμος του Benford (ή αλλιώς νόμος του πρώτου ψηφίου) λέει ότι όταν έχουμε αριθμητικά δεδομένα (στατιστικά ή μετρήσεις) συχνά συμβαίνει το πρώτο ψηφίο των αριθμών να ακολουθεί μη-ομοιόμορφη κατανομή. Σύμφωνα με το νόμο αυτό, το πρώτο ψηφίο είναι 1 περίπου στο 30% των περιπτώσεων, 2 στο ≈17.5% των περιπτώσεων, 3 στο ≈12.5% των περιπτώσεων, ..., 9 στο ≈4,5% των περιπτώσεων.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Πιο συγκεκριμένα οι αριθμοί 1,2,...,9 λέμε ότι ικανοποιούν το νόμο του Benford αν η συνάρτηση πιθανότητας τους είναι </div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: center;">$P(x) = \log_{10}(x+1)-\log_{10}(x) = \log_{10}\left(1+\frac{1}{x}\right),\quad x=1,2,\ldots, 9$.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Αυτός ο ίσως αντι-διαισθητικός νόμος έχει αποδειχθεί ότι ισχύει σε διάφορα δεδομένα όπως λογαριασμούς ηλεκτρικού, τιμές μετοχών, μήκη ποταμών, φυσικές και μαθηματικές σταθερές και άλλα. Φαίνεται ότι ισχύει με μεγαλύτερη ακρίβεια για δεδομένα των οποίων οι τιμές εκτείνονται σε πολλές τάξεις μεγέθους.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Πήρε το όνομά του από το φυσικό Frank Benford, ο οποίος ενώ εργαζόταν στην General Electric το 1938 παρατήρησε ότι στα βιβλία με λογαριθμικούς πίνακες οι σελίδες που αντιστοιχούσαν σε αριθμούς που άρχιζαν με το ψηφίο 1 ήταν πολύ πιο τσαλακωμένες και βρώμικες (άρα πολύ πιο χρησιμοποιημένες) από τις άλλες σελίδες. (Εκείνη την εποχή και ελλείψει υπολογιστών χρησιμοποιούσαν ως αναφορά βιβλία με πίνακες για τις τιμές διάφορων συναρτήσεων όπως λογαρίθμων, ημιτόνων, συνημιτόνων κλπ).</div>Σήμερα ο νόμος του Benford θεωρείται ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για τον εντοπισμό λογιστικών ατασθαλιών, καταχρήσεων, φοροδιαφυγής κλπ. Η λογική είναι ότι αν κάποιος προσπαθήσει να παράξει ένα σύνολο από τυχαία δεδομένα, τότε προσπαθεί να τα κάνει κατά το δυνατό ομοιόμορφα, διότι θεωρεί ότι αυτό δείχνει μεγαλύτερη τυχαιότητα. Στην πραγματικότητα όμως για πραγματικά δεδομένα πολύ συχνά ισχύει ο νόμος του Benford.<br /><br />Ο νόμος του Benford aναφέρθηκε και στο επεισόδιο "The running man" της τηλεοπτικής σειράς <a href="http://www.amazon.com/gp/product/B000GG4Y5K?ie=UTF8&tag=yetanothermat-20&linkCode=as2&camp=1789&creative=390957&creativeASIN=B000GG4Y5K">Numb3rs.</a><img alt="" border="0" height="1" src="http://www.assoc-amazon.com/e/ir?t=yetanothermat-20&l=as2&o=1&a=B000GG4Y5K" style="border: none !important; margin: 0px !important;" width="1" /><br /><br /><b>Πηγή:</b> <a href="http://www.americanscientist.org/issues/feature/1998/4/the-first-digit-phenomenon" target="_blank">The first digit phenomenon</a> του T.P. Hill, American Scientist.<br /><br /><div><br /></div>csarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.com0