Έστω a1, ..., a2011 οι 2011 αριθμοί. Ας υποθέσουμε ότι ο a2011 είναι ένας αρνητικός.Λόγω της ιδιότητας που έχουν αυτοί οι αριθμοί, μπορώ να γράψω:a1 + ... + a1005 < a1006 + ... + a2011, οπότεa1 + ... + a1005 - (a1006 + ... + a2010) < a2011Για να γίνω πιο σύντομος θα ονομάσω τα S1 = a1 + ... + a1005 και S2 = a1006 + ... + a2010, οπότε η τελευταία σχέση γράφεται:S1 - S2 < a2011 <= 0.Οπότε S1 <= S2Όμως, σύμφωνα με την αρχική ιδιότητα για το άθροισμα οποιονδήποτε 1005 αριθμών θα είναι μικρότερο από το άθροισμα των υπόλοιπων 1006:S2 < S1 + a2011Ας τα μαζέψουμε όλα μαζί τώρα, με τη βοήθεια της μεταβατικής ιδιότητας:S1 < S1 + a2011, δηλαδήa2011 > 0. Καταλήξαμε σε άτοπο.Άρα όλοι οι αριθμοί μας είναι θετικοί! Πολύ ωραία άσκηση, ευχαριστώ που τη μοιράστηκες.
:)
Έστω a1, ..., a2011 οι 2011 αριθμοί.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς υποθέσουμε ότι ο a2011 είναι ένας αρνητικός.
Λόγω της ιδιότητας που έχουν αυτοί οι αριθμοί, μπορώ να γράψω:
a1 + ... + a1005 < a1006 + ... + a2011, οπότε
a1 + ... + a1005 - (a1006 + ... + a2010) < a2011
Για να γίνω πιο σύντομος θα ονομάσω τα S1 = a1 + ... + a1005 και S2 = a1006 + ... + a2010, οπότε η τελευταία σχέση γράφεται:
S1 - S2 < a2011 <= 0.
Οπότε S1 <= S2
Όμως, σύμφωνα με την αρχική ιδιότητα για το άθροισμα οποιονδήποτε 1005 αριθμών θα είναι μικρότερο από το άθροισμα των υπόλοιπων 1006:
S2 < S1 + a2011
Ας τα μαζέψουμε όλα μαζί τώρα, με τη βοήθεια της μεταβατικής ιδιότητας:
S1 < S1 + a2011, δηλαδή
a2011 > 0. Καταλήξαμε σε άτοπο.
Άρα όλοι οι αριθμοί μας είναι θετικοί!
Πολύ ωραία άσκηση, ευχαριστώ που τη μοιράστηκες.
:)
ΑπάντησηΔιαγραφή