15 Ιουν 2011

Άθροισμα θετικών

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο από 2011 αριθμούς με την εξής ιδιότητα:

το άθροισμα οποιωνδήποτε 1005 από αυτούς τους αριθμούς είναι μικρότερο από το άθροισμα των υπόλοιπων 1006.

Να δειχθεί ότι όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί.

2 σχόλια:

  1. Έστω a1, ..., a2011 οι 2011 αριθμοί.

    Ας υποθέσουμε ότι ο a2011 είναι ένας αρνητικός.

    Λόγω της ιδιότητας που έχουν αυτοί οι αριθμοί, μπορώ να γράψω:
    a1 + ... + a1005 < a1006 + ... + a2011, οπότε
    a1 + ... + a1005 - (a1006 + ... + a2010) < a2011

    Για να γίνω πιο σύντομος θα ονομάσω τα S1 = a1 + ... + a1005 και S2 = a1006 + ... + a2010, οπότε η τελευταία σχέση γράφεται:

    S1 - S2 < a2011 <= 0.

    Οπότε S1 <= S2

    Όμως, σύμφωνα με την αρχική ιδιότητα για το άθροισμα οποιονδήποτε 1005 αριθμών θα είναι μικρότερο από το άθροισμα των υπόλοιπων 1006:
    S2 < S1 + a2011

    Ας τα μαζέψουμε όλα μαζί τώρα, με τη βοήθεια της μεταβατικής ιδιότητας:
    S1 < S1 + a2011, δηλαδή
    a2011 > 0. Καταλήξαμε σε άτοπο.

    Άρα όλοι οι αριθμοί μας είναι θετικοί!

    Πολύ ωραία άσκηση, ευχαριστώ που τη μοιράστηκες.

    ΑπάντησηΔιαγραφή