Από το Γ φέρνουμε την παράλληλη στην ΔΕ και παίρνουμε σε αυτή δύο σημεία Ζ και Η εκατέρωθεν του Γ με ΗΖ=ΔΕ. Το ΕΖΗΔ είναι φυσικά παραλληλόγραμμο.
 |
| Σχήμα 1. |
2 Μαρ 2011
Ένα πρόβλημα γεωμετρίας
Το Ε είναι αυθαίρετο σημείο της πλευράς ΑΒ του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ.
Από το Γ φέρνουμε την παράλληλη στην ΔΕ και παίρνουμε σε αυτή δύο σημεία Ζ και Η εκατέρωθεν του Γ με ΗΖ=ΔΕ. Το ΕΖΗΔ είναι φυσικά παραλληλόγραμμο.
Αν το εμβαδό του ΑΒΓΔ είναι 1, πόσο είναι το εμβαδό του ΕΖΗΔ;
Από το Γ φέρνουμε την παράλληλη στην ΔΕ και παίρνουμε σε αυτή δύο σημεία Ζ και Η εκατέρωθεν του Γ με ΗΖ=ΔΕ. Το ΕΖΗΔ είναι φυσικά παραλληλόγραμμο.
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από έναν διαχειριστή ιστολογίου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυγνώμη για την αναδημοσίευση, έκανα λάθος στα σύμβολα της HTML...
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ λύση είναι (ΕΖΗΔ)=(ΑΒΓΔ)=1.
Απόδειξη: Φέρνουμε την ευθεία ΕΓ. Το τρίγωνο ΕΓΔ έχει το ίδιο ύψος με τα τρίγωνα ΕΓΖ και ΔΗΓ, το οποίο είναι η απόσταση των παραλλήλων ΕΔ και ΖΗ. Αν το συμβολίσουμε με υ, τότε
(ΕΓΔ)=½ ΕΔ ⋅ υ
(ΕΓΖ)=½ ΓΖ ⋅ υ
(ΔΗΓ)=½ ΓΗ ⋅ υ
άρα (ΕΓΖ)+(ΔΗΓ)=½ ΗΖ ⋅ υ = ½ ΕΔ ⋅ υ = (ΕΓΔ).
Όμως (ΕΓΔ)+(ΕΓΖ)+(ΔΗΓ)=(ΕΖΗΔ), άρα (ΕΖΗΔ)=2(ΕΓΔ).
Εφαρμόζοντας την ίδια απόδειξη στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, μπορούμε να δείξουμε ότι (ΑΒΓΔ)=2(ΕΓΔ). Συνεπώς (ΑΒΓΔ)=(ΕΖΗΔ).
Χρήστος
Είναι εντυπωσιακό το πόσο απλοποιείται ένα πρόβλημα Γεωμετρίας αν φέρεις την κατάλληλη βοηθητική ευθεία...
ΑπάντησηΔιαγραφή