Το μεγάλο παζάρι

Οι κάπως μεγαλύτεροι στην ηλικία ίσως θυμούνται το τηλεπαιχνίδι "Το μεγάλο παζάρι" και το Ζονκ. Μέρος αυτού του παιχνιδιού ήταν το εξής:

Υπάρχουν τρεις κουρτίνες. Πίσω από τη μία κουρτίνα υπάρχει ένα μεγάλο δώρο (π.χ. αυτοκίνητο) ενώ πίσω από τις άλλες δύο υπάρχει ο Ζονκ (δηλ. κανένα δώρο).
- Ο παίκτης διαλέγει μία κουρτίνα.
- Ο παρουσιαστής ανοίγει μία από τις δύο κουρτίνες που δεν έχει διαλέξει ο παίκτης και δείχνει το Ζονκ.
- Ο παρουσιαστής τώρα ρωτά τον παίκτη αν θέλει να αλλάξει την επιλογή του και να διαλέξει την άλλη κουρτίνα.

Το ερώτημα είναι: αν ο παίκτης αλλάξει επιλογή, τότε έχει περισσότερες, λιγότερες ή τις ίδιες πιθανότητες να κερδίσει;

Ένα φανταστικό πρόβλημα

Πολλές φορές η χρήση μιγαδικών αριθμών οδηγεί σε πολύ απλοποιημένες λύσεις σε προβλήματα που αφορούν στους πραγματικούς, ακόμα και σε προβλήματα συνδυαστικής, λογικής ή πιθανοτήτων.

Σε ένα κουτί έχουμε 2000 άσπρες μπάλες. Επίσης έχουμε απεριόριστο αριθμό από άσπρες, πράσινες και κόκκινες μπάλες έξω από το κουτί. Κάνουμε το εξής: Τραβάμε δύο μπάλες στην τύχη μέσα από το κουτί.

• Αν είναι και οι δύο άσπρες ή και οι δύο κόκκινες, τις αντικαθιστούμε με μία πράσινη. 
• Αν είναι και οι δύο πράσινες, τις αντικαθιστούμε με μία άσπρη και μία κόκκινη. 
• Αν η μία είναι άσπρη και η άλλη πράσινη, τις αντικαθιστούμε με μία κόκκινη.
• Αν η μία είναι πράσινη και η άλλη κόκκινη, τις αντικαθιστούμε με μία άσπρη.
• Αν η μία είναι άσπρη και η άλλη κόκκινη, δεν τις αντικαθιστούμε.

α) Μετά από αρκετές κινήσεις, έχουν απομείνει τρεις μπάλες μέσα στο κουτί. Να αποδειχθεί ότι η μία είναι οπωσδήποτε πράσινη.

β) Είναι δυνατό να μείνει μόνο μία μπάλα μέσα στο κουτί;

Το πρόβλημα αυτό ήταν ένα από τα προβλήματα του Εθνικού Μαθηματικού Διαγωνισμού της Βουλγαρίας το 2000.

Πηγή: Mathematical Olympiads, 2000-2001: problems and solutions from around the world των T Andreescu, Z Feng and G Lee Jr.

Μη-γραμμικό σύστημα

Ποιες είναι οι λύσεις του συστήματος

$\frac{4x^2}{1+4x^2}=y$

$\frac{4y^2}{1+4y^2}=z$

$\frac{4z^2}{1+4z^2}=x$

Συνάρτηση ακεραίων

Υπάρχει συνάρτηση f: N^* → N^*, τέτοια ώστε

f(f(n-1)) = f(n+1) - f(n);

για κάθε n ≥ 2; To N^* είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων, δηλαδή N^* = {1, 2, ...}.

Ένα φαινομενικά δύσκολο πρόβλημα

Ορίζουμε

$q(n)=\left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor}\right\rfloor,\qquad n=1,2,\ldots,$
στην οποία $\lfloor x\rfloor$ υπονοεί το "ακέραιο μέρος του $x$".

Για ποιους $n$ ισχύει $q(n) > q(n+1)$;

Ένα στα γρήγορα

Για την f που ορίζεται στους φυσικούς έχουμε

f(1) + f(2) + ... + f(n) = n²f(n).

με f(1) = 2011. Ποια είναι η τιμή του f(2011);

Ένα πρόβλημα γεωμετρίας

Το Ε είναι αυθαίρετο σημείο της πλευράς ΑΒ του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ.

Από το Γ φέρνουμε την παράλληλη στην ΔΕ και παίρνουμε σε αυτή δύο σημεία Ζ και Η εκατέρωθεν του Γ με ΗΖ=ΔΕ. Το ΕΖΗΔ είναι φυσικά παραλληλόγραμμο.

Σχήμα 1.

Αν το εμβαδό του ΑΒΓΔ είναι 1, πόσο είναι το εμβαδό του ΕΖΗΔ;