Είναι ο πολλαπλασιασμός επαναλαμβανόμενη πρόσθεση;

Πρόσφατα διάβασα το βιβλίο The unfinished game: Pascal, Fermat, and the 17th-century letter that made the world modern του Keith Devlin. (Ίσως γράψω μερικά πράγματα για αυτό σε κάποιο post στο μέλλον).

Ψάχνοντας στο δίκτυο για το συγγραφέα βρήκα μία μηνιαία στήλη (Devlin's angle) που συντηρεί στην ιστοσελίδα της MAA (Mathematical Association of America). Πιο πολύ μου τράβηξε το ενδιαφέρον ένα άρθρό του με τίτλο "It ain't no repeated addition". Στο συγκεκριμένο άρθρο ο Devlin επιχειρηματολογεί ότι ο πολλαπλασιασμός δεν είναι επαναλαμβανόμενη πρόσθεση και για αυτό το λόγο οι μαθητές του δημοτικού δε θα έπρεπε να διδάσκονται ότι είναι. Αρχικά παραξενεύτηκα αλλά τελικά κατέληξα στο ότι ο Devlin έχει μάλλον δίκιο. Για να γίνω πιο σαφής, ανάμεσα σε άλλα υποστηρίζει τα εξής:

• όπως η πρόσθεση είναι μία θεμελιώδης πράξη την οποία δεν εξηγούμε με βάση κάποια άλλη πράξη, έτσι και ο πολλαπλασιασμός είναι μία θεμελιώδης πράξη, την οποία δεν πρέπει να εξηγούμε με βάση κάποια άλλη πράξη αλλά να της δίνουμε τη δική της ερμηνεία (π.χ. να τον βλέπουμε ως την κλιμάκωση ενός αριθμού).
• ο πολλαπλασιασμός δύο αριθμών δεν είναι επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Πώς θα μπορούσε να εξηγήσει κανείς ως "επαναλαμβανόμενη πρόσθεση" το γινόμενο π√2; ή ακόμα και το ½×(-¾);
• το γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με έναν ακέραιο n συμπίπτει με την πρόσθεση του αριθμού n φορές δεν καθιστά τον πολλαπλασιασμό "επαναλαμβανόμενη πρόσθεση". Απλά συμβαίνει η "επαναλαμβανόμενη πρόσθεση" να γίνεται γρήγορα και εύκολα χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό (όπως π.χ. συμβαίνει 2⁴ = 4² αλλά γενικά δεν ισχύει ότι x^y = y^x ή ότι η αντιπαράγωγος είναι ένας γρήγορος τρόπος να υπολογίζουμε ολοκληρώματα αλλά δεν είναι το ίδιο πράγμα.
• όταν ο δάσκαλος φτάσει στο σημείο να διδάξει τον πολλαπλασιασμό π.χ. κλασμάτων ή γενικότερα πραγματικών, δε θα μπορεί να χρησιμοποιεί τον ορισμό του πολλαπλασιασμού ως "επαναλαμβανόμενη πρόσθεση" και θα πρέπει να βρει κάποια άλλη ερμηνεία για τον πολλαπλασιασμό. Αυτό είναι αρνητικό διότι ο πολλαπλασιασμός είτε κλασμάτων, είτε ακεραίων, είτε άρρητων είναι ένα και το αυτό, δεν είναι διαφορετικό για κάθε περίσταση. Επιπλέον κλονίζει την εμπιστοσύνη του μαθητή στα Μαθηματικά, που έμαθε κάτι και βλέπει ότι τώρα δεν ισχύει.

Φυσικά για τους ίδιους λόγους επιχειρηματολογεί ότι η ύψωση σε δύναμη δεν είναι επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός και δε θα πρέπει να διδάσκεται ότι είναι.

Θα ήθελα τις απόψεις όλων αλλά κυρίως των μαθητών και των δασκάλων των μαθηματικών είτε στο δημοτικό, είτε στο γυμνάσιο/λύκειο.