Άθροισμα όρων γεωμετρικών όρων

Το άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου είναι

$a + a\lambda + a\lambda^2 + \ldots = \frac{a}{1-\lambda}$

με την προϋπόθεση ότι $|\lambda|<1$.

Μία γεωμετρική απόδειξη της παραπάνω σχέσης δίνεται στο Σχ. 1. Στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ = ΓΔ = α και ΒΓ = ΑΔ = 1, παίρνουμε σημείο Ε πάνω στην ΒΓ έτσι, ώστε ΒΕ = λ < 1. Οι ΔΕ, ΑΒ συναντιούνται στο Ζ. Χωρίζουμε το τρίγ. ΑΖΔ σε τραπέζια όμοια με το ΑΒΕΔ και των οποίων οι μικρές βάσεις είναι διαδοχικά λ, λ², λ³, ... όπως στο σχήμα.

Σχήμα 1.

Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΖΔ και ΓΔΕ έχουμε

$\frac{AZ}{A\Delta} = \frac{\Gamma\Delta}{\Gamma E}$

δηλαδή

$a + a\lambda + a\lambda^2 + \ldots = \frac{a}{1-\lambda}$.

Σχήμα 2.

Στο Σχ. 2 φαίνονται άλλες δύο εικόνες που αντιπροσωπεύουν δύο άλλα αθροίσματα γεωμετρικών προόδων. Μπορείτε να βρείτε ποιες είναι αυτές;

Πηγή: Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics των R. Nelsen & C. Alsina