 |
| Σχήμα 1. |
Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι το άθροισμα των μηκών των μικρών ημικυκλίων ισούται με το μήκος του μεγάλου ημικυκλίου:
$\frac{\pi}{2}\left(\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon\right)=\frac{\pi}{2}AB$
Το ίδιο ισχύει φυσικά και για το Σχ. 1β στο οποίο οι ακτίνες των μικρών ημικυκλίων είναι πολύ μικρές.Όμως καθώς οι ακτίνες των μικρών ημικυκλίων μικραίνουν αυθαίρετα, κάθε ημικύκλιο τείνει προς τη διάμετρό του και συνεπώς το άθροισμά των μηκών του ημικυκλίων τείνει προς την ΑΒ. Δηλαδή
$AB = \frac{\pi}{2}AB\Rightarrow\pi=2.$
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από έναν διαχειριστή ιστολογίου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυγγνώμη (πάλι) για την αναδημοσίευση, αλλά ο interpreter του LaTeX έκανε σαλάτα τους τόνους...
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο παράδοξο μπορεί να διαλευκανθεί αν διευκρινίσουμε την έννοια της σύγκλισης και μάλιστα αν λάβουμε υπόψη την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης.
Η μαθηματική λαθροχειρία του παραπάνω συλλογισμού έγειται στην εξής (λανθασμένη) παραδοχή: ότι το όριο του μήκους μιας ακολουθίας καμπυλών ισούται με το μήκος του ορίου της καμπύλης. Αυτό ΔΕΝ ισχύει πάντα. Για να κάνουμε τα πράγματα πιο συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι στο $n-$οστό βήμα της διαδικασίας η καμπύλη απαρτίζεται από $n$ ισομήκη ημικύκλια. Δηλαδη η πρώτη καμπύλη έχει εξίσωση $y=f_1(x)=\sqrt{1-x^2}$ για $x\in (-1,1)$, η δεύτερη καμπύλη έχει εξίσωση $y=f_2(x)=\sqrt{(1/2)^2-(x+1/2)^2}$ για $x\in (-1,0)$ και $y=f_2(x)=\sqrt{(1/2)^2-(x-1/2)^2}$ για $x\in (0,1)$, κ.ο.κ. Στο $n-$οστό στάδιο θα έχουμε μία καμπύλη που θα φράσσεται άνω από την ευθεία $y=1/n$ και κάτω από τον άξονα $y=0$. Συνεπώς όλα τα σημεία της καμπύλης τείνουν στο μηδέν (δηλαδή στη διάμετρο του πρώτου ημικυκλίου), και μάλιστα ομοιόμορφα.
Όμως το μήκος μιας καμπύλης $y=f(x)$ δίνεται από την εξίσωση $\int \sqrt{1-[f\acute{}(x)]^2}dx$. Σε κάθε βήμα της διαδικασίας λοιπόν το μήκος της $n-$οστής καμπύλης θα είναι $L_n=\int_{-1}^{1}\sqrt{1-[f\acute{}_n(x)]^2}dx$. Όπως δείχνει ο csar στο post γεωμετρικά, ισχύει $L_n=\pi$ για κάθε $n$. Συνεπώς $\lim L_n=\pi$. Για να "δείξουμε" ότι $\pi=2$ εναλλάσσουμε το όριο με την παραγώγιση και την ολοκλήρωση. Δηλαδή θεωρούμε ότι $\lim L_n =\int_{-1}^{1}\sqrt{1-\{[\lim f_n(x)]\acute{}\}^2}dx$. Αυτό όμως είναι λάθος, γιατί η ομοιόμορφη σύγκλιση της $f_n$ στην $f(x)=0$ ΔΕΝ συνεπάγεται την ομοιόμορφη σύγκλιση της $f\acute{}_n(x)$ στην $f\acute{}(x)=0$, πράγμα που είναι απαραίτητο για να είμαστε σίγουροι ότι η εναλλαγή ολοκλήρωσης και ορίου επιτρέπεται. Μάλιστα, αν κάνουμε τη γραφική παράσταση των καμπυλών $f\acute{}_n(x)$, θα δούμε ότι έχουν $n+1$ απειρισμούς (στα άκρα των ημικυκλίων), άρα σίγουρα ΔΕΝ συγκλίνουν ομοιόμορφα.
Χρήστος
Δεν είμαι πολύ σίγουρος ότι αυτό το φαινομενικά παράδοξο αυτό μπορεί να εξηγηθεί με βάση τη (μη-) ομοιόμορφη σύγκλιση. Όσους τρόπους εναλλαγής ορίου/ολοκληρώματος ή ορίου/παραγώγου κι αν δοκίμασα δεν μπόρεσα να φτάσω στο $L=2$.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε την ευκαιρία υπάρχει ένα typo στο post του Χρήστου: οι τύποι για το μήκος καμπύλης είναι με + και όχι με -, δηλ.
$$L = \int\sqrt{1+(f^\prime)^2}\;dx$$
Πάντως πρέπει να συμφωνήσω ότι χρειάζεται μεγάλη προσοχή στην εναλλαγή ορίου/ολοκλήρωσης και ορίου/παραγώγισης η οποία συχνά δε δίνεται.
ΑπάντησηΔιαγραφήΩχ! Συγνώμη για το τυπογραφικό! Όσον αφορά το θέμα της "απόδειξης" π=2, εννούσα το εξής. Από τη στιγμή που $f_n\to 0$, τότε κάποιος ελαφρά τη καρδία θα μπορούσε να πει ότι $f_n\acute{}\to 0\acute{}=0$. Οπότε (πάλι ελαφρά τη καρδία) θα μπορούσε να πει ότι $L_n\to\int_{-1}^1\sqrt{1+0^2}dx=2$. Όμως ξέρουμε ότι $L_n=\pi$, άρα $L_n\to\pi$. Αφού το όριο είναι μοναδικό θα "πρέπει" να "ισχύει" $\pi=2$.
ΑπάντησηΔιαγραφήOK, τό 'πιασα τώρα. Θα έλεγα ότι εντόπισες ακριβώς το πού βρίσκεται το πρόβλημα χωρίς όμως να εξηγήσεις το σφάλμα στο συλλογισμό.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝομίζω ότι μπορεί να εξηγηθεί απλά (χωρίς τις έννοιες της σύγκλισης ακολουθιών συναρτήσεων και ολοκληρωμάτων) ως εξής:
Όταν έχουμε για παράδειγμα $n$ ημικύκλια ακτίνας $\frac{1}{n}$ το καθένα, το άθροισμα των μηκών είναι $L_n=n\times\frac{\pi}{n}$, το οποίο είναι $\pi$ ανεξάρτητα από το $n$. Αν πάρουμε τώρα το όριο $\lim_{n\to\infty }L_n$ το όριο παραμένει $\pi$, που είναι και το σωστό.
Το σφάλμα στον άλλο συλλογισμό είναι ότι παίρνουμε πρώτα το όριο του μήκους όταν τα σημεία των ημικυκλίων πλησιάζουν στη διάμετρο ΑΒ, (το οποίο είναι $\frac{2}{n}$ για το κάθε ημικύκλιο που έγινε ευθύγραμμο τμήμα) και μετά παίρνουμε το όριο των μηκών, δηλαδή $\lim_{n\to\infty}n\frac{2}{n}=2$.
Αυτό έχει ένα σαφές σφάλμα διότι το $\frac{2}{n}$ προέκυψε μετά από μία διαδικασία ορίου όταν το $n\to\infty$ αλλά περιέχει το $n$.