Για τους άλλους αριθμούς δε με ένοιαξε τόσο πολύ. Γιατί να με νοιάζει αν υπάρχει κανόνας π.χ. για το 47; Αλλά για το 7 με είχε νοιάξει... Δεν είμαι σίγουρος αν η δασκάλα μου δεν ήξερε τον κανόνα ή απλά δεν ήθελε να μας μπερδέψει. Πάντως ο κανόνας για το 7 δεν είναι ιδιαίτερα σύνθετος.
Φυσικά το θέμα της διαιρετότητας των αριθμών είναι ένα θέμα ας πούμε παρωχημένο σήμερα (με την εξέλιξη των υπολογιστών, ποιος χρειάζεται να θυμάται τέτοιους κανόνες) και ίσως δεν υπάρχει λόγος να διδάσκεται σήμερα.
Παρόλα αυτά θέλω να μοιραστώ τον κανόνα του 7 για τους εξής λόγους
- ο κανόνας του 7 φαίνεται κατ' αρχάς αλλοπρόσαλλος αλλά και μαγικός με τον τρόπο στον οποίο φτάνει στο αποτέλεσμα
- βασίζεται σε μία πολύ ευρηματική απόδειξη
- γιατί θέλω να κλείσω αυτήν την πληγή από το παρελθόν, βρε αδερφέ
Ο κανόνας του 7
Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού που θέλουμε να ελέγξουμε και αφαιρούμε το διπλάσιο του ψηφίου από το λειψό αριθμό. Αν το αποτέλεσμα διαιρείται από το 7, τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται από το 7. Αν το αποτέλεσμα είναι μεγάλος αριθμός και δεν μπορούμε να αποφανθούμε, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία.Παράδειγμα
Θα ελέγξουμε τον 24633- 2463 - 3×2 = 2457
- 245 - 7×2 = 231
- 23 - 1×2 = 21
Άρα ο 24633 διαιρείται από το 7.
Θα είχε ενδιαφέρον αν κάποιος μπορούσε να εξηγήσει πώς προκύπτει αυτός ο κανόνας διαιρετότητας.
Ο κανόνας λέει ότι ο αριθμός $x=10z+y$ με $y=0,1,2,...9$ διαιρείται με το 7 ανν διαιρείται με το 7 ο $w=z-2y$, (αν δεν κάνω λάθος)...
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ πρόταση "ο $a$ διαιρείται με το 7" θα γράφεται συμβολικά $[a]:7$.
Οπότε
i. $[x=10z+y]:7$ ανν $[5*(10z+y)=50z+5y]:7$ γιατί το 5 και το 7 ως πρώτοι αριθμοί έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το 1.
ii. $[50z+5y=49z+z+7y-2y]:7$ ανν $[(49z+7y)+(z-2y)]:7$. Η πρώτη παρένθεση διαιρείται με το 7 οπότε
iii. $[x=10z+y]:7$ ανν ... ανν $[z-2y]:7$.
JR
Πολύ ωραία απόδειξη, ακριβώς έτσι είναι
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό που είχα στο μυαλό μου ήταν μία πιο πρακτική (μπακάλικη) εξήγηση, η οποία είναι η εξής:
Αυτό που κάνουμε είναι κάθε φορά είναι ότι
- αφαιρούμε ένα πολλαπλάσιο του 7 και
- διαιρούμε με το 10 (αν ο αρχικός αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε και μετά τη διαίρεση με το 10 ο αριθμός που προκύπτει συνεχίζει να είναι πολλαπλάσιο του 7 και το αντίστροφο).
Πώς όμως ξέρουμε ότι ο αριθμός που αφαιρούμε είναι πολλαπλάσιο του 7;
Αν ο τελευταίος αριθμός είναι 1, τότε αφαιρούμε το 21=7*3
Αν ο τελευταίος αριθμός είναι 2, τότε αφαιρούμε το 42=7*6
...
Αν ο τελευταίος αριθμός είναι 9, τότε αφαιρούμε το 189=7*27.
Σε όλους αυτούς τους αριθμούς το ψηφίο των μονάδων είναι το μισό του υπόλοιπου αριθμού!
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, αφαιρούμε κατά σειρά τους 63, 147 και 21.