Μοναδικότητα (;) ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Μπορούμε να "διασπάσουμε" (ή αναλύσουμε) κάθε θετικό (μη-πρώτο) ακέραιο σε γινόμενο δύο παραγόντων και στη συνέχεια να αναλύσουμε τους παράγοντες αυτούς σε άλλους δύο παράγοντες μέχρι να έχουμε ένα γινόμενο από παράγοντες που είναι όλοι πρώτοι αριθμοί.

Για παράδειγμα ο 60 μπορεί να αναλυθεί σε 4·15 αλλά επίσης 4=2·2 και 15=3·5 άρα τελικά

60 = 4·15 = 2·2·3·5 = 2²·3·5

Θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε αλλιώς:

60 = 6·10 = 2·3·2·5 = 2²·3·5. 

Πάλι δηλαδή φτάσαμε στην ίδια ανάλυση του 60 σε πρώτους παράγοντες. Το γεγονός ότι ενώ ξεκινήσαμε από διαφορετικές αναλύσεις του 60 και φτάσαμε τελικά στην ίδια ανάλυση σε πρώτους παράγοντες μας φαίνεται απόλυτα φυσιολογικό και προφανές. Είναι όμως τόσο προφανές;

Ας πάρουμε ακόμα ένα παράδειγμα, τον αριθμό 41369. Μετά από πολύ κόπο βρίσκουμε ότι 41369 = 41·1009, όπου οι 41 και 1009 είναι πρώτοι. Μπορούμε όμως να πούμε με απόλυτη βεβαιότητα ότι σίγουρα δεν υπάρχουν άλλοι δύο πρώτοι αριθμοί p και q, τέτοιοι ώστε pq = 41369;

Το σύνολο $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$

Αν το παράδειγμα με τον 41369 δεν ήταν αρκετά πειστικό, το επόμενο παράδειγμα ίσως είναι λίγο περισσότερο. Ας θεωρήσουμε το σύνολο $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$, που είναι μία επέκταση του συνόλου των ακεραίων και περιλαμβάνει τους αριθμούς της μορφής α+β√6, όπου οι α,β είναι ακέραιοι. Παρατηρούμε επίσης ότι το $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ είναι κλειστό ως προς τη συνήθη πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, δηλαδή το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών του $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ είναι πάλι αριθμοί του $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$. Για παράδειγμα έχουμε

3+4√6 + 2-√6 = 5+3√6,
0+2√6 + 1-√6 = 1+√6.

Επίσης το γινόμενο δύο αριθμών του $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ είναι πάλι αριθμός του $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$:

(3+4√6)(2-√6) = 6 - 3√6 + 8√6 - 24 = -18+5√6, 

(0+2√6)(1-√6) = -12+2√6

Να σημειωθεί ότι $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ (είναι οι αριθμοί με β=0).

Τότε για τον αριθμό 6 έχουμε

6 = 2·3

αλλά και

6 = √6 √6

Δηλαδή έχουμε δύο διαφορετικές αναλύσεις; Είναι δυνατό;