Υποσύνολα με το ίδιο άθροισμα

Παίρνουμε 10 διαφορετικούς ακεραίους από το 1 μέχρι και το 100. Ζητούμε να εξετάσουμε αν από αυτό το σύνολο με τους 10 διαφορετικούς ακεραίους μπορούμε να βρούμε πάντα δύο υποσύνολα, το άθροισμα των στοιχείων των οποίων να είναι ίσο.

Για παράδειγμα ας είναι S = {1, 4, 5, 14, 17, 33, 41, 49, 68, 79, 88}.
Τότε αν θεωρήσουμε τα υποσύνολα Α₁ και Α₂ του S με Α₁ = {5, 14, 17, 33} και Α₂ = {1, 68}, παρατηρούμε ότι

5+14+17+33 = 1+68.  

Η τετράγωνη τούρτα

Η Ιωάννα έφτιαξε μία τετράγωνη τούρτα για τα γενέθλιά του Δημήτρη, την οποία είχε αλείψει με σοκολάτα από πάνω και στο πλάι.

Οι δικαιούχοι κομματιού τούρτας ήταν 9 (ο Δημήτρης και οι 8 φίλοι του).

Πώς μπορούμε να κόψουμε την τούρτα, ώστε να πάρουν όλοι την ίδια ποσότητα τούρτας και την ίδια ποσότητα σοκολάτας; (ακριβέστερα πώς πρέπει να κοπεί η τούρτα ώστε να πάρουν όλοι τον ίδιο όγκο τούρτας και την ίδια επιφάνεια σοκολάτας)

Ψηφιακό άθροισμα δίδυμων πρώτων

Το ψηφιακό άθροισμα ενός αριθμού υπολογίζεται αν υπολογίσουμε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού. Αν το άθροισμα δεν είναι μονοψήφιος, τότε συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να φτάσουμε σε μονοψήφιο αριθμό. Για παράδειγμα το ψηφιακό άθροισμα του 4857 είναι (4+8+5+7 = 24 → 2+4 =) 6.

Δίδυμοι πρώτοι είναι δύο πρώτοι που διαφέρουν κατά 2. Για παράδειγμα οι 5 και 7 είναι δίδυμοι πρώτοι.

Να δειχθεί ότι το ψηφιακό άθροισμα του γινομένου δύο δίδυμων πρώτων (με εξαίρεση το ζεύγος (3,5)) είναι πάντα ίσο με 8.

Για παράδειγμα για το ζεύγος (29,31) έχουμε 29×31 = 899 με ψηφιακό άθροισμα
(8+9+9 = 26 → 2+6 = ) 8.

π ≈ 256/81

Μία προσέγγιση του $$\pi$$, που χρησιμοποιούσαν συστηματικά οι αρχαίοι Αιγύπτιοι είναι η

$$ \pi = \frac{256}{81}$$

Είναι ενδιαφέρον πώς οι αρχαίοι Αιγύπτιοι κατέληξαν σε αυτήν την προσέγγιση.
Στο Σχ. (α) φαίνεται ένας κύκλος με διάμετρο 9 εγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς 9. Στο Σχ. (β) φαίνεται ένα (όχι κανονικό) οκτάπλευρο που έχει εμβαδό περίπου ίσο με αυτό του κύκλου.

Σχήμα

Εφόσον το τετράγωνο έχει εμβαδό 9² = 81, το εμβαδό του 8πλεύρου είναι (Σχ. (γ))

$$ 81-4\times\frac12\times3\times3 = \frac63$$

Για ευκολία (και αφού ούτως ή άλλως μιλάμε πάντα προσεγγιστικά) ας πούμε ότι το εμβαδό του 8πλεύρου είναι ίσο με 64, δηλαδή είναι ίσο με το εμβαδό ενός τετραγώνου πλευράς 8 (Σχ. (δ))

Καταλήξαμε δηλαδή στο ότι

εμβαδό του κύκλου ≈ εμβαδό οκταπλεύρου ⇔

$$\pi\left(\frac92\right)^2\approx 64$$ ή $$\pi\approx\frac{256}{81}$$

Η τιμή αυτή είναι περίπου ίση με 3,1605 και είναι κατά περίπου 0,6% μεγαλύτερη από την κανονική.

Πηγή: Mathematics in the time of the Pharaohs του R.J. Gillings.

Κορώνα ή γράμματα

Κάθεσαι σε ένα σκοτεινό δωμάτιο και μπροστά σου βρίσκεται ένα τραπέζι με 12 κέρματα από τα οποία τα 7 δείχνουν κορώνα και τα 5 γράμματα.

Πώς μπορείς να ταξινομήσεις τα 12 κέρματα σε 2 στήλες, ώστε η κάθε μία να έχει τον ίδιο αριθμό από κέρματα "κορώνα";

Μπορείς να γυρίσεις ένα ή περισσότερα κέρματα αλλά δεν μπορείς να καταλάβεις αν κάποιο είναι κορώνα ή γράμματα κοιτάζοντάς το (σκοτεινό δωμάτιο λέμε) ή ψηλαφίζοντάς το ή με κάποιον άλλο τρόπο.

Πηγή: Math wonders to inspire teachers and students του A.S. Posamentier.