Ένα από τα πιο γνωστά και εντυπωσιακά μαθηματικά παράδοξα είναι αυτό του Russell, που σχετίζεται με τη θεωρία συνόλων.
Ορισμός Ονομάζουμε S το σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα.
Παρατηρούμε αμέσως ότι το S έχει την ασυνήθιστη ιδιότητα να περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο (αφού το S είναι σύνολο και επιπλέον το S περιέχει όλα τα σύνολα, τότε το S ∈ S).
Τα συνήθη μαθηματικά σύνολα (π.χ. το σύνολο των ακεραίων ή των πραγματικών ή υποσύνολά τους κλπ) δεν έχουν αυτήν την ασυνήθιστη ιδιότητα, οπότε είναι λογικό να ορίσουμε ένα άλλο σύνολο που περιέχει αυτά τα σύνολα.
Ορισμός Ονομάζουμε R το σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους.
Για να γίνει πιο εύκολα κατανοητό το παράδοξο του Russell ορίζουμε και τις έννοιες του κανονικού και μη-κανονικού συνόλου:
Ορισμός Ας είναι x ένα αυθαίρετο σύνολο. Αν x ∈ R (δηλ. το x δεν περιέχει τον εαυτό του), τότε το ονομάζουμε κανονικό. Αν x ∉ R, τότε το ονομάζουμε μη-κανονικό.
Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, όλα τα στοιχεία του R είναι κανονικά σύνολα και όλα τα κανονικά σύνολα ανήκουν στο R.
Τώρα θα εξετάσουμε αν το R είναι κανονικό ή μη-κανονικό:
- Αν το R είναι κανονικό, τότε R ∈ R (το R περιέχει όλα τα κανονικά σύνολα). Όμως τότε το R ∉ R άρα το R είναι μη-κανονικό! (άτοπο)
- Αν το R είναι μη-κανονικό, τότε R ∉ R (το R περιέχει όλα τα κανονικά σύνολα). Όμως αφού το R ∉ R, τότε το R είναι κανονικό! (άτοπο)
Φτάσαμε δηλαδή στο συμπέρασμα ότι
R ∈ R ⇔ R ∉ R
Άλλη μορφή του παράδοξου αυτού είναι η εξής:
Θεωρούμε ότι σε μία πόλη υπάρχει ένας κουρέας. Ο σουλτάνος της περιοχής βγάζει ένα φιρμάνι ότι κάθε πολίτης αυτής της πόλης, είτε θα ξυρίζεται από τον κουρέα, είτε θα ξυρίζεται μόνος του. Αν προσπαθήσουμε να σκεφτούμε ποιος πρέπει να ξυρίζει τον κουρέα, φτάνουμε σε αντινομία.
Το παράδοξο αυτό οφείλεται πρακτικά στην ύπαρξη του συνόλου S και πιο συγκεκριμένα στη σιωπηλή παραδοχή (ορισμός του Cantor) ότι
"σύνολο είναι κάθε συλλογή σαφώς διακριτών και καλά καθορισμένων αντικειμένων της εμπειρείας ή/και της διανόησής μας, τα οποία λαμβάνονται ως μία ενότητα."
Σήμερα η θεωρία συνόλων βασίζεται σε 10 αξιώματα και είναι γνωστή ως "Θεωρία Συνόλων Zermelo-Fraenkel με το αξίωμα της επιλογής" (Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of Choice) ή απλά ZFC. Μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί κάποιο παράδοξο για αυτήν τη θεωρία και θεωρείται αυτοσυνεπής.
