π = 2

Σχήμα 1.

Στο Σχ. 1α, τα μικρότερα ημικύκλια εφάπτονται το ένα στο άλλο και το πρώτο και τελευταίο εφάπτονται στα σημεία Α και Β του μεγαλύτερου ημικυκλίου αντίστοιχα.

Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι το άθροισμα των μηκών των μικρών ημικυκλίων ισούται με το μήκος του μεγάλου ημικυκλίου:

$\frac{\pi}{2}\left(\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon\right)=\frac{\pi}{2}AB$

Το ίδιο ισχύει φυσικά και για το Σχ. 1β στο οποίο οι ακτίνες των μικρών ημικυκλίων είναι πολύ μικρές.

Όμως καθώς οι ακτίνες των μικρών ημικυκλίων μικραίνουν αυθαίρετα, κάθε ημικύκλιο τείνει προς τη διάμετρό του και συνεπώς το άθροισμά των μηκών του ημικυκλίων τείνει προς την ΑΒ. Δηλαδή

$AB = \frac{\pi}{2}AB\Rightarrow\pi=2.$

Tο πρόβλημα των γενεθλίων

Το πρόβλημα των γενεθλίων συχνά απαντάται και ως το "παράδοξο των γενεθλίων" Στην πραγματικότητα δεν είναι παράδοξο, απλά δίνει ένα αποτέλεσμα που είναι τελείως ενάντια στη διαίσθησή μας.

Διατύπωση

Ας υποθέσουμε ότι σε ένα χώρο βρίσκονται n άνθρωποι τυχαία επιλεγμένοι. Ζητάμε να βρούμε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός n, ώστε τουλάχιστον δύο από αυτούς τους ανθρώπους να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα με πιθανότητα μεγαλύτερη από (α) 50% και (β) 99%.

Για να παραμείνει το πρόβλημα απλό, κάνουμε τις εξής παραδοχές:

• όλα τα έτη έχουν 365 μέρες
• κάθε μία από τις 365 μέρες του χρόνου είναι το ίδιο πιθανή για να γεννηθεί κάποιος.

Προφανώς ο ελάχιστος αριθμός να έχουμε σίγουρα δύο άτομα που έχουν την ίδια μέρα γενέθλια είναι 366 (προκύπτει από την αρχή του περιστερώνα) άρα θεωρούμε n ≤ 365.

Λύση

Αν είναι p η ζητούμενη πιθανότητα (δηλαδή τουλάχιστον δύο άτομα από τα n να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια), τότε είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε τη συμπληρωματική της πιθανότητα q, δηλαδή την πιθανότητα όλα τα άτομα να έχουν διαφορετική μέρα γενέθλια. Τότε p = 1 - q.

Αυτό που θα κάνουμε είναι να αριθμήσουμε όλα τα άτομα από 1 ως n και θα ελέγχουμε κάθε φορά αν κάποιο άτομο έχει γενέθλια ίδια μέρα με κάποιο από τα προηγούμενα άτομα.

Ας είναι P_i (1 ≤ i ≤ n) η πιθανότητα το άτομο i να μην έχει ίδια μέρα γενέθλια με κανέναν από τους 1,2,...,i-1. Τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι

q = P₁P₂⋅⋅⋅P_n,

επειδή τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα

Ας δούμε αναλυτικά όλες αυτές τις πιθανότητες:

• P₁ = 1: το άτομο 1 σίγουρα δεν έχει ίδια μέρα γενέθλια με κάποιον προηγούμενό του, αφού απλά δεν υπάρχει προηγούμενός του.
• P₂ = 364/365: το γεγονός το 2^ο άτομο να μην έχει ίδια μέρα γενέθλια με το 1^ο είναι ισοδύναμο με το γεγονός να έχει γενέθλια μία από τις υπόλοιπες 364 μέρες του χρόνου. Άρα η πιθανότητα είναι (ευνοϊκές περιπτώσεις προς συνολικές περιπτώσεις) 364/365.
• P₃ = 363/365: το γεγονός το 3^ο άτομο να μην έχει ίδια μέρα γενέθλια με το 1^ο ή το 2^ο είναι ισοδύναμο με το γεγονός να έχει γενέθλια μία από τις υπόλοιπες 363 μέρες του χρόνου. Άρα η πιθανότητα είναι (ευνοϊκά γεγονότα προς συνολικές περιπτώσεις) 363/365.
• ...
• P_n = (365-(n-1))/365.

Άρα έχουμε

$q = P_1P_2\cdots P_n = \frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\cdots\frac{366-n}{365} = \frac{365\times364\times\cdots[365-(n-1)]}{365^n}$

ή πιο συμμαζεμένα

$q = \frac{365!}{(365-n)!365^n}$

όπου $n!=1\times2\times\ldots\times n$.

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι $p = 1-q = 1 - \frac{365!}{(365-n)!365^n}$.

Δοκιμάζοντας για διάφορα n, βλέπουμε ότι

• p ≈ 50.7% για n = 23 και
• p ≈ 99.0% για n = 57.

Τα αποτελέσματα αυτά προκαλούν αρχικά μεγάλη έκπληξη.

Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν 365 διαφορετικές ημερομηνίες, είναι πιο πιθανό δύο από μόλις 23 άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα παρά να μην έχουν!

Ακόμα πιο εντυπωσιακό είναι ότι αν έχουμε μόλις 57 άτομα, είναι σχεδόν σίγουρο (κατά 99%) ότι δύο από αυτά θα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα!

Το φαινομενικό αυτό παράδοξο γίνεται λιγότερο απίστευτο αν αναλογιστούμε τα εξής:

• ψάχνουμε την πιθανότητα δύο οποιαδήποτε άτομα να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια και όχι κάποιο άτομο να έχει την ίδια μέρα γενέθλια με κάποιο συγκεκριμένο εκ των προτέρων άτομο.
• παρά το γεγονός ότι μιλάμε για 23 και 57 άτομα, το σωστό είναι σκεφτόμαστε όχι για πόσα άτομα μιλάμε αλλά για το πόσα ζεύγη (συνδυασμοί ανά δύο) ημερομηνιών δημιουργούνται από 23 και 57 άτομα αντίστοιχα. Για την ακρίβεια οι αριθμοί αυτοί είναι 253 και 1596 αντίστοιχα.

Το παράδοξο του Russell

Ένα από τα πιο γνωστά και εντυπωσιακά μαθηματικά παράδοξα είναι αυτό του Russell, που σχετίζεται με τη θεωρία συνόλων.

Ορισμός Ονομάζουμε S το σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα.

Παρατηρούμε αμέσως ότι το S έχει την ασυνήθιστη ιδιότητα να περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο (αφού το S είναι σύνολο και επιπλέον το S περιέχει όλα τα σύνολα, τότε το S ∈ S).

Τα συνήθη μαθηματικά σύνολα (π.χ. το σύνολο των ακεραίων ή των πραγματικών ή υποσύνολά τους κλπ) δεν έχουν αυτήν την ασυνήθιστη ιδιότητα, οπότε είναι λογικό να ορίσουμε ένα άλλο σύνολο που περιέχει αυτά τα σύνολα.

Ορισμός Ονομάζουμε R το σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους.

Για να γίνει πιο εύκολα κατανοητό το παράδοξο του Russell ορίζουμε και τις έννοιες του κανονικού και μη-κανονικού συνόλου:

Ορισμός Ας είναι x ένα αυθαίρετο σύνολο. Αν x ∈ R (δηλ. το x δεν περιέχει τον εαυτό του), τότε το ονομάζουμε κανονικό. Αν x ∉ R, τότε το ονομάζουμε μη-κανονικό.

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, όλα τα στοιχεία του R είναι κανονικά σύνολα και όλα τα κανονικά σύνολα ανήκουν στο R.

Τώρα θα εξετάσουμε αν το R είναι κανονικό ή μη-κανονικό:

- Αν το R είναι κανονικό, τότε R ∈ R (το R περιέχει όλα τα κανονικά σύνολα). Όμως τότε το R ∉ R άρα το R είναι μη-κανονικό! (άτοπο)

- Αν το R είναι μη-κανονικό, τότε R ∉ R (το R περιέχει όλα τα κανονικά σύνολα). Όμως αφού το R ∉ R, τότε το R είναι κανονικό! (άτοπο)

Φτάσαμε δηλαδή στο συμπέρασμα ότι

R ∈ R ⇔ R ∉ R

Άλλη μορφή του παράδοξου αυτού είναι η εξής:

Θεωρούμε ότι σε μία πόλη υπάρχει ένας κουρέας. Ο σουλτάνος της περιοχής βγάζει ένα φιρμάνι ότι κάθε πολίτης αυτής της πόλης, είτε θα ξυρίζεται από τον κουρέα, είτε θα ξυρίζεται μόνος του. Αν προσπαθήσουμε να σκεφτούμε ποιος πρέπει να ξυρίζει τον κουρέα, φτάνουμε σε αντινομία.

Το παράδοξο αυτό οφείλεται πρακτικά στην ύπαρξη του συνόλου S και πιο συγκεκριμένα στη σιωπηλή παραδοχή (ορισμός του Cantor) ότι

"σύνολο είναι κάθε συλλογή σαφώς διακριτών και καλά καθορισμένων αντικειμένων της εμπειρείας ή/και της διανόησής μας, τα οποία λαμβάνονται ως μία ενότητα."

Σήμερα η θεωρία συνόλων βασίζεται σε 10 αξιώματα και είναι γνωστή ως "Θεωρία Συνόλων Zermelo-Fraenkel με το αξίωμα της επιλογής" (Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of Choice) ή απλά ZFC. Μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί κάποιο παράδοξο για αυτήν τη θεωρία και θεωρείται αυτοσυνεπής.