Αρχή του Περιστερώνα 1: Αν n περιστέρια τοποθετηθούν σε m<n φωλιές, τότε σε τουλάχιστον μία φωλιά υπάρχουν τουλάχιστον 2 περιστέρια.
Μία πιο επίσημη διατύπωση είναι (|A| εκφράζει το πλήθος των στοιχείων του πεπερασμένου συνόλου A):
Αρχή του Περιστερώνα 2: Για τα πεπερασμένα σύνολα A και B, υπάρχει συνάρτηση 1-1, f: A → B , αν-ν |A| = |B|.
Αν και η αρχή αυτή είναι πολύ απλή και προφανής, μερικές φορές οδηγεί σε αντι-διαισθητικά αποτελέσματα ή τουλάχιστον σε αποτελέσματα που δεν είναι προφανή. Μερικά παραδείγματα είναι τα εξής:
Παράδειγμα 1
Στη λύση του προβλήματος Η λειψή σκακιέρα ο Messie χρησιμοποίησε τη Αρχή του Περιστερώνα ("περιστέρια": τα ντόμινο, "φωλιές": τα λευκά τετράγωνα).
Παράδειγμα 2
Στη λύση του προβλήματος Υποσύνολα με ίδιο άθροισμα, ο JR χρησιμοποίησε επίσης την Αρχή του Περιστερώνα ("περιστέρια": το πλήθος των αθροισμάτων των υποσυνόλων, "φωλιές": τα δυνατά αθροίσματα).
Παράδειγμα 3
Σε ένα δωμάτιο υπάρχουν n άνθρωποι, άλλοι χαιρετιούνται με χειραψία κι άλλοι όχι. Τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο άνθρωποι που έχουν κάνει τον ίδιο αριθμό χειραψιών.
Οι δυνατές τιμές χειραψιών για έναν άνθρωπο είναι 0, 1, ..., n-1. Αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν δύο άνθρωποι που έχουν κάνει τον ίδιο αριθμό χειραψιών, τότε υπάρχει ένας άνθρωπος που έχει κάνει n-1 χειραψίες (δηλαδή με όλους) και ένας με 0 χειραψίες, που είναι άτοπο.
Παράδειγμα 4
Ας είναι n θετικοί αριθμοί x1, x2, …, xn. Τότε σίγουρα η διαφορά δύο από αυτούς διαιρείται από το n-1.
Αν συμβολίσουμε με ri το υπόλοιπο της διαίρεσης του xi με τον n-1, τότε οι ri μπορούν να πάρουν τις τιμές 0, 1, 2, ..., n-2. Δηλαδή υπάρχουν n-1 δυνατές τιμές για τους ri αλλά υπάρχουν συνολικά n αριθμοί ri . Από την Αρχή του Περιστερώνα, δύο από αυτούς, έστω οι ri και rj, είναι ίσοι. Δηλαδή οι xi και xj είναι ισοϋπόλοιποι (ως προς τη διαίρεση με τον n-1) και συνεπώς η διαφορά τους διαιρείται ακριβώς από τον n-1.
Μία γενικευμένη εκδοχή της αρχής του Περιστερώνα είναι η εξής:
Αρχή του Περιστερώνα 3: Αν n περιστέρια τοποθετούνται σε m φωλιές, τότε τουλάχιστον μία φωλιά περιέχει τουλάχιστον $\lceil\frac{n}{m}\rceil$ περιστέρια και τουλάχιστον μία φωλιά περιέχει το πολύ $\lfloor\frac{n}{m}\rfloor$ περιστέρια.
(Στο παραπάνω $\lceil x\rceil$ εκφράζει το μικρότερο ακέραιο που είναι $\geq x$ ενώ $\lfloor x\rfloor$ εκφράζει το μεγαλύτερο ακέραιο που είναι $\leq x$. Δηλαδή ισχύει $\lfloor x\rfloor\leq x\leq\lceil x\rceil$ με $\lfloor x\rfloor=x=\lceil x\rceil$ αν-ν ο $x$ είναι ακέραιος.)
Άλλες γενικεύσεις περιλαμβάνουν
- σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων,
- τη θεωρία πιθανοτήτων (τα περιστέρια τοποθετούνται σε κάθε φωλιά με συγκεκριμένη πιθανότητα)
και άλλες
Πρόβλημα
Ας είναι S = {1,2,...,100}. Τότε με οποιονδήποτε τρόπο κι αν επιλέξουμε 55 από τα στοιχεία του S, θα υπάρχουν
- δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 9,
- δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 10,
- δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 12,
- δύο ζεύγη αριθμών που διαφέρουν κατά 13.