Κορώνα ή γράμματα

Κάθεσαι σε ένα σκοτεινό δωμάτιο και μπροστά σου βρίσκεται ένα τραπέζι με 12 κέρματα από τα οποία τα 7 δείχνουν κορώνα και τα 5 γράμματα.

Πώς μπορείς να ταξινομήσεις τα 12 κέρματα σε 2 στήλες, ώστε η κάθε μία να έχει τον ίδιο αριθμό από κέρματα "κορώνα";

Μπορείς να γυρίσεις ένα ή περισσότερα κέρματα αλλά δεν μπορείς να καταλάβεις αν κάποιο είναι κορώνα ή γράμματα κοιτάζοντάς το (σκοτεινό δωμάτιο λέμε) ή ψηλαφίζοντάς το ή με κάποιον άλλο τρόπο.

Πηγή: Math wonders to inspire teachers and students του A.S. Posamentier.

Παιχνίδι με κέρματα

Ας θεωρήσουμε ένα παιχνίδι με τους εξής κανόνες:

• στήνουμε 10 κέρματα όπως στο Σχ. 1
• δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ
• όποιος πάρει το τελευταίο κέρμα κερδίζει
• σε κάθε γύρο ένας παίκτης μπορεί να πάρει ένα κέρμα ή δύο αλλά μόνον από διαδοχικές θέσεις. Για παράδειγμα κάποιος δεν μπορεί να πάρει το 1 και το 3 ακόμα κι αν το 2 έχει αφαιρεθεί σε κάποιον προηγούμενο γύρο.

Υπάρχει βέλτιστη στρατηγική που μπορεί να ακολουθήσει κάποιος παίκτης, ώστε να κερδίσει σίγουρα;

Νιμ

Ας θεωρήσουμε ένα παιχνίδι με τους εξής κανόνες:

Σχήμα 1.

• στήνουμε νομίσματα όπως στο Σχ. 1
• δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ
• όποιος πάρει το τελευταίο νόμισμα χάνει
• σε κάθε γύρο ένας παίκτης πρέπει να πάρει ένα νόμισμα ή περισσότερα αλλά από την ίδια σειρά.

Αν ο πρώτος παίκτης κάνει μία "σωστή" πρώτη κίνηση και μετά ακολουθήσει βέλτιστη στρατηγική, τότε κερδίζει πάντα. Ποια είναι αυτή η πρώτη σωστή κίνηση;

Το νέο τετράγωνο

Μπορείτε να εξηγήσετε το παρακάτω φαινομενικά παράδοξο;

Γρίφος με κέρματα

Μπορούμε μετακινώντας μόνον ένα κέρμα, να φτιάξουμε δύο σειρές με ακριβώς 4 κέρματα η κάθε μία;

Η λειψή σκακιέρα

Εικόνα 1: Πλακίδια ντόμινο

Αυτό είναι ένα κλασικό πρόβλημα, από το οποίο ξεκίνησε μία ευρεία κατηγορία προβλημάτων.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία γενικευμένη σκακιέρα με Ν (αντί για 8) τετράγωνα σε κάθε πλευρά και επίσης έχουμε πλακίδια (aka κόκκαλα ή πέτρες, βλ. Εικ. 1) ντόμινο τα οποία εφαρμόζουν ακριβώς σε δύο τετράγωνα της σκακιέρας.

Εικόνα 2

Είναι προφανές ότι αν έχουμε ικανό αριθμό πλακιδίων μπορούμε να καλύψουμε ακριβώς τη σκακιέρα αν-ν ο Ν είναι άρτιος. Όταν λέμε "ακριβώς" εννοούμε ότι κάθε τετράγωνο της σκακιέρας καλύπτεται από κάποιο ντόμινο και ότι κάθε πλακίδιο ντόμινο καλύπτει ακριβώς δύο τετράγωνα της σκακιέρας.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι από τη σκακιέρα αφαιρούμε δύο απέναντι γωνιακά τετράγωνα όπως στην Εικ. 2.

Είναι δυνατό να καλύψουμε ακριβώς τη λειψή σκακιέρα με πλακίδια ντόμινο;

 

Τουρνουά νοκ-άουτ

Μια και αυτή είναι η πρώτη ανάρτηση του blog, λέω να ξεκινήσουμε όμορφα και ομαλά

Ένα τουρνουά (ας πούμε) τένις διεξάγεται με το σύστημα νοκ-άουτ:

• σε κάθε γύρο οι αθλητές κληρώνονται σε ζευγάρια και παίζουν μεταξύ τους,
• αν το πλήθος των αθλητών σε κάποιο γύρο είναι περιττό, τότε κάποιος αθλητής περισσεύει. Αυτός περνά στον επόμενο γύρο χωρίς αγώνα.
• οι νικητές προχωρούν στο τουρνουά ενώ οι χαμένοι αποχωρούν.

Αν οι αθλητές αρχικά είναι 2011, πόσοι αγώνες θα γίνουν συνολικά στο τουρνουά;