Πυθαγόρεια τριπλέτα

Ας είναι οι x, y, z τρεις ακέραιοι, που ικανοποιούν το πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή
x² + y² = z².

Να δειχθεί ότι το γινόμενο xyz διαιρείται από τον 60.

Δυνάμεις του 7

Όπως φάνηκε και από το post "Ο κανόνας του 7", το 7 είναι μία από τις αδυναμίες μου.

Ποια είναι τα τρία τελευταία ψηφία του 7¹⁰⁰⁰¹;

Και με λίγη περισσότερη δουλειά ποια είναι τα τρία τελευταία ψηφία του 7²⁰¹¹;

Ψηφιακό άθροισμα δίδυμων πρώτων

Το ψηφιακό άθροισμα ενός αριθμού υπολογίζεται αν υπολογίσουμε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού. Αν το άθροισμα δεν είναι μονοψήφιος, τότε συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να φτάσουμε σε μονοψήφιο αριθμό. Για παράδειγμα το ψηφιακό άθροισμα του 4857 είναι (4+8+5+7 = 24 → 2+4 =) 6.

Δίδυμοι πρώτοι είναι δύο πρώτοι που διαφέρουν κατά 2. Για παράδειγμα οι 5 και 7 είναι δίδυμοι πρώτοι.

Να δειχθεί ότι το ψηφιακό άθροισμα του γινομένου δύο δίδυμων πρώτων (με εξαίρεση το ζεύγος (3,5)) είναι πάντα ίσο με 8.

Για παράδειγμα για το ζεύγος (29,31) έχουμε 29×31 = 899 με ψηφιακό άθροισμα
(8+9+9 = 26 → 2+6 = ) 8.

Ο κανόνας του 7

Δεν ξέρω τι μαθαίνουν σήμερα τα παιδιά στο σχολείο αλλά όταν ήμουν εγώ μαθητής, μας είχαν μάθει ότι "κανόνας/κριτήριο διαιρετότητας για το 7, (όπως και για άλλους αριθμούς) ΔΕΝ υπάρχει".

Για τους άλλους αριθμούς δε με ένοιαξε τόσο πολύ. Γιατί να με νοιάζει αν υπάρχει κανόνας π.χ. για το 47; Αλλά για το 7 με είχε νοιάξει... Δεν είμαι σίγουρος αν η δασκάλα μου δεν ήξερε τον κανόνα ή απλά δεν ήθελε να μας μπερδέψει. Πάντως ο κανόνας για το 7 δεν είναι ιδιαίτερα σύνθετος.

Φυσικά το θέμα της διαιρετότητας των αριθμών είναι ένα θέμα ας πούμε παρωχημένο σήμερα (με την εξέλιξη των υπολογιστών, ποιος χρειάζεται να θυμάται τέτοιους κανόνες) και ίσως δεν υπάρχει λόγος να διδάσκεται σήμερα.

Παρόλα αυτά θέλω να μοιραστώ τον κανόνα του 7 για τους εξής λόγους

• ο κανόνας του 7 φαίνεται κατ' αρχάς αλλοπρόσαλλος αλλά και μαγικός με τον τρόπο στον οποίο φτάνει στο αποτέλεσμα
• βασίζεται σε μία πολύ ευρηματική απόδειξη
• γιατί θέλω να κλείσω αυτήν την πληγή από το παρελθόν, βρε αδερφέ

Ο κανόνας του 7

Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού που θέλουμε να ελέγξουμε και αφαιρούμε το διπλάσιο του ψηφίου από το λειψό αριθμό. Αν το αποτέλεσμα διαιρείται από το 7, τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται από το 7. Αν το αποτέλεσμα είναι μεγάλος αριθμός και δεν μπορούμε να αποφανθούμε, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία.

Παράδειγμα

Θα ελέγξουμε τον 24633

• 2463 - 3×2 = 2457
• 245 - 7×2 = 231
• 23 - 1×2 = 21

Άρα ο 24633 διαιρείται από το 7.

Θα είχε ενδιαφέρον αν κάποιος μπορούσε να εξηγήσει πώς προκύπτει αυτός ο κανόνας διαιρετότητας.

Μοναδικότητα (;) ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Μπορούμε να "διασπάσουμε" (ή αναλύσουμε) κάθε θετικό (μη-πρώτο) ακέραιο σε γινόμενο δύο παραγόντων και στη συνέχεια να αναλύσουμε τους παράγοντες αυτούς σε άλλους δύο παράγοντες μέχρι να έχουμε ένα γινόμενο από παράγοντες που είναι όλοι πρώτοι αριθμοί.

Για παράδειγμα ο 60 μπορεί να αναλυθεί σε 4·15 αλλά επίσης 4=2·2 και 15=3·5 άρα τελικά

60 = 4·15 = 2·2·3·5 = 2²·3·5

Θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε αλλιώς:

60 = 6·10 = 2·3·2·5 = 2²·3·5. 

Πάλι δηλαδή φτάσαμε στην ίδια ανάλυση του 60 σε πρώτους παράγοντες. Το γεγονός ότι ενώ ξεκινήσαμε από διαφορετικές αναλύσεις του 60 και φτάσαμε τελικά στην ίδια ανάλυση σε πρώτους παράγοντες μας φαίνεται απόλυτα φυσιολογικό και προφανές. Είναι όμως τόσο προφανές;

Ας πάρουμε ακόμα ένα παράδειγμα, τον αριθμό 41369. Μετά από πολύ κόπο βρίσκουμε ότι 41369 = 41·1009, όπου οι 41 και 1009 είναι πρώτοι. Μπορούμε όμως να πούμε με απόλυτη βεβαιότητα ότι σίγουρα δεν υπάρχουν άλλοι δύο πρώτοι αριθμοί p και q, τέτοιοι ώστε pq = 41369;

Το σύνολο $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$

Αν το παράδειγμα με τον 41369 δεν ήταν αρκετά πειστικό, το επόμενο παράδειγμα ίσως είναι λίγο περισσότερο. Ας θεωρήσουμε το σύνολο $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$, που είναι μία επέκταση του συνόλου των ακεραίων και περιλαμβάνει τους αριθμούς της μορφής α+β√6, όπου οι α,β είναι ακέραιοι. Παρατηρούμε επίσης ότι το $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ είναι κλειστό ως προς τη συνήθη πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, δηλαδή το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών του $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ είναι πάλι αριθμοί του $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$. Για παράδειγμα έχουμε

3+4√6 + 2-√6 = 5+3√6,
0+2√6 + 1-√6 = 1+√6.

Επίσης το γινόμενο δύο αριθμών του $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ είναι πάλι αριθμός του $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$:

(3+4√6)(2-√6) = 6 - 3√6 + 8√6 - 24 = -18+5√6, 

(0+2√6)(1-√6) = -12+2√6

Να σημειωθεί ότι $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ (είναι οι αριθμοί με β=0).

Τότε για τον αριθμό 6 έχουμε

6 = 2·3

αλλά και

6 = √6 √6

Δηλαδή έχουμε δύο διαφορετικές αναλύσεις; Είναι δυνατό;