Μη-γραμμικό σύστημα

Ποιες είναι οι λύσεις του συστήματος

$\frac{4x^2}{1+4x^2}=y$

$\frac{4y^2}{1+4y^2}=z$

$\frac{4z^2}{1+4z^2}=x$

Συνάρτηση ακεραίων

Υπάρχει συνάρτηση f: N^* → N^*, τέτοια ώστε

f(f(n-1)) = f(n+1) - f(n);

για κάθε n ≥ 2; To N^* είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων, δηλαδή N^* = {1, 2, ...}.

Ένα φαινομενικά δύσκολο πρόβλημα

Ορίζουμε

$q(n)=\left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor}\right\rfloor,\qquad n=1,2,\ldots,$
στην οποία $\lfloor x\rfloor$ υπονοεί το "ακέραιο μέρος του $x$".

Για ποιους $n$ ισχύει $q(n) > q(n+1)$;

Ένα στα γρήγορα

Για την f που ορίζεται στους φυσικούς έχουμε

f(1) + f(2) + ... + f(n) = n²f(n).

με f(1) = 2011. Ποια είναι η τιμή του f(2011);

Ένα πρόβλημα γεωμετρίας

Το Ε είναι αυθαίρετο σημείο της πλευράς ΑΒ του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ.

Από το Γ φέρνουμε την παράλληλη στην ΔΕ και παίρνουμε σε αυτή δύο σημεία Ζ και Η εκατέρωθεν του Γ με ΗΖ=ΔΕ. Το ΕΖΗΔ είναι φυσικά παραλληλόγραμμο.

Σχήμα 1.

Αν το εμβαδό του ΑΒΓΔ είναι 1, πόσο είναι το εμβαδό του ΕΖΗΔ;