Κάποιοι αναγνώστες διαμαρτυρήθηκαν ότι τα προβλήματα που θέτω είναι σχετικά εύκολα. Για αυτό θα θέσω μερικά πιο δύσκολα προβλήματα σε αυτό και τα επόμενα ένα-δύο posts.
Ρίχνουμε ένα νόμισμα 100 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα ότι δε θα πάρουμε ποτέ δύο συνεχόμενες φορές κορώνα;
Τι αναπάντεχο αποτέλεσμα! Δε θα περίμενα ποτέ να τρυπώσει η ακολουθία Fibonacci σε ένα τέτοιο πρόβλημα. Έφτασα στη λύση με τη βοήθεια ενός δενδροδιαγράμματος, απαλοίφοντας κάθε φορά μια "κορώνα" όταν αυτή εμφανίζονταν σε δεύτερο συνεχόμενο επίπεδο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚατέληξα στη ζητούμενη πιθανότητα:
Ρ = 1 - F1/2^2 - F2/2^3 - ... - F99/2^100 ≈ 7.31568 x 10^-10,
όπου Fn o n-στός αριθμός Fibonacci.
Είναι πραγματικά περίεργο πώς μερικοί αριθμοί εμφανίζονται εκεί που δεν τους περιμένεις! Πρόσφατα διάβασα τα "Μαθηματικά Μυστήρια" του Calvin C. Clawson, ένα βιβλίο γεμάτο τέτοιες απροσδόκητες συναντήσεις...
Πράγματι, είναι εντυπωσιακό ότι η λύση μπορεί να εκφραστεί με όρους της ακολουθίας Fibonacci!
ΑπάντησηΔιαγραφήΈνας κλειστός τύπος για τη ζητούμενη πιθανότητα είναι
P = F(102)/2^100
και γενικότερα για n ρίψεις:
P(n) = F(n+2)/2^n.