Άθροισμα θετικών

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο από 2011 αριθμούς με την εξής ιδιότητα:

το άθροισμα οποιωνδήποτε 1005 από αυτούς τους αριθμούς είναι μικρότερο από το άθροισμα των υπόλοιπων 1006.

Να δειχθεί ότι όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί.

Άθροισμα παραγοντικών

Ας επανέλθουμε σε πιο ομαλά προβλήματα.

Να βρεθεί μία κλειστή έκφραση για το άθροισμα:
1×1! + 2×2! + 3×3! + ... + n×n!

Παραγοντικό υψωμένο σε παραγοντικό

Να αποδειχθεί ότι ο (n!)^(n-1)! διαιρεί τον n!!

Για παράδειγμα για n = 3 έχουμε
(3!)^(3-1)! = 6² = 36
3!! = 6! = 720

Ο 36 διαιρεί τον 720.

Μία περίεργη ακολουθία

Ορίζουμε την εξής ακολουθία αριθμών:
f(0) = 0
f(1) = 1
f(n) = ο ελάχιστος ακέραιος, μεγαλύτερος του f(n-1) και τέτοιος, ώστε να μη σχηματίζει αριθμητική πρόοδο με οποιουσδήποτε δύο προηγούμενους αριθμούς.

Η ακολουθία αυτή ξεκινά ως εξής: 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, ...

Ποιος είναι ο f(4100);

Πυθαγόρεια τριπλέτα

Ας είναι οι x, y, z τρεις ακέραιοι, που ικανοποιούν το πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή
x² + y² = z².

Να δειχθεί ότι το γινόμενο xyz διαιρείται από τον 60.