tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post6340339441313654322..comments2023-03-31T16:27:43.993+03:00Comments on Ακόμα ένα μαθηματικό blog: Μη-γραμμικό σύστημαcsarhttp://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.comBlogger11125tag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-29662856862425726882011-04-14T08:47:31.654+03:002011-04-14T08:47:31.654+03:00Αντίθετα η λύση είναι πολύ κομψή. Ακόμα και χωρίς ...Αντίθετα η λύση είναι πολύ κομψή. Ακόμα και χωρίς McCormickcsarhttps://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-65708647426282295482011-04-13T18:12:31.727+03:002011-04-13T18:12:31.727+03:00Τι θα γίνει με την προεπισκόπηση? Όλο λάθη κάνω.
...Τι θα γίνει με την προεπισκόπηση? Όλο λάθη κάνω.<br /><br />Επανέρχομαι με τη λύση του πραγματικού προβλήματος.<br /><br />Η συνάρτηση που εμφανίζεται στο πρόβλημα είναι η<br />$f(x)=\cfrac{4x^2}{1+4x^2}$ η οποία αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι γνησίως αύξουσα για $x\geq 0$<br /><br />Το πρόβλημά μας γράφεται<br />$y=f(x)$<br />$z=f(y)$<br />$x=f(z)$<br /><br />Θα αποδείξουμε ότι η λύση του συστήματος απαιτεί $x=y=z$.<br /><br />Τποθέτω ότι τουλάχιστον $x\neq y$ και έστω $x<y$.<br />Τότε $f(x)<f(y)\Rightarrow y<z \Rightarrow f(y)<f(z) \Rightarrow z<x \Rightarrow y<z<x$.<br />Άτοπο.<br />Άρα $x=y=z$.<br /><br />Το μόνο που απομένει έναι να λυθεί η $f(x)=\frac{4x^2}{1+4x^2}=x$ που δίνει μονή ρίζα $x=0$ και διπλή $x=1/2$.Οπότε η τελική λύση στο πρόβλημα είναι$x=y=z=0$ και $x=y=z=1/2$.<br /><br />Τι άσχημη επίλυση! Δεν χρειάστηκε πουθενά τη συνάρτηση McCormick... Σνιφ<br /><br />JRAnonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-40709955082290506882011-04-13T10:57:57.732+03:002011-04-13T10:57:57.732+03:00Υπάρχει πρόβλημα με την εμφάνιση του προηγούμενου ...Υπάρχει πρόβλημα με την εμφάνιση του προηγούμενου σχολίου μου και το ξανα γράφω<br />csar έχει απόλυτο δίκιο για τις λύσεις του προβλήματος που έθεσες.<br />Όμως ο ορισμός της McCormick είναι ok.<br />Tο δε λήμμα είναι απολύτως σωστό.<br /><br />Το λάθος που έκανα ήταν ότι θεώρησα πως η $f(x)=\frac{4x^2}{1+4x^2}$ είναι McCormick-1 πράγμα που δεν ισχύει. Εκεί έπρεπε να εστιάσεις την κριτική σου και όχι στο πεδίο ορισμού.<br />Ουσιαστικά πλήρωσα τη εμμονή μου στον ορισμό και το λήμμα με την αβλεψία μου στον έλεγχο της συγκεκριμένης $f$. Δικό μου λάθος.<br /><br />Θα ήθελα όμως να εξηγήσω το πως έγινε το λάθος αυτό.<br />Έγιναν τα παρακάτω βήματα.<br />1. Διάβασα την εκφώνιση και παρατήρησα ότι<br />$x,y,z$<1$ καθώς και τη συμμετρία του προβλήματος$.<br />2. Στη συνέχεια ανέβηκα σε ένα τρακτερ μάρκας McCormick για όλη τη διάρκεια της μέρας.<br />3. Χωρίς μολύβι και χαρτί και μόνο με τη σκέψη προσπάθησα να λύσω το πρόβλημα.<br />4. Δεν θυμώμουν ακριβώς τη συνάρτηση $f(x)$. Nόμισα ότι ήταν η $g(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$.<br />5. Για την $g(x)$ με $0< x<1$ ισχύουν: $x>x^2>\frac{x^2}{1+x^2}$ και για $x=0$ $g(0}=0=x$.<br />6. Τότε γενίκευσα το πρόβλημα για οποιαδήπορε συνάρτηση που ικανοποιεί τις ιδιότητες της $g{x)$. Όρισα τις συναρτήσεις McCormick και απέδειξα το λήμμα. Ήμουν πραγματικά ενθουσιασμένος γιατί όπως είπα όλα έγιναν στο μυαλό.<br />7. Γυρίζω το βράδυ στο σπίτι και ανεβάζω τη λύση όπου μεσα στον ενθουσιασμό μου δεν έλεγξω αν πράγματι η συνάρτηση της εκφώνησης $f(x)$ είναι πράγματι McCormick με αποτέλεσμα την λανθασμένη εφαρμογή όσων είχα βρεί.<br /><br />Τελικά η $f(x)$ δεν είναι McCormick όπως πράγματι έδειξε η λύση 1/2 που ανέφερες. Με έφαγε το τεσσαράκι.<br />Δεν ισχύει $x>4x^2$<br /><br />Ανακαλώ τη λύση στο πρόβλημα της εκφώνησης όμως διατηρώ όλα τα προηγούμενα.<br /><br />Σε ευχαριστώ για το όμορφο παιχνίδι.<br /><br />JRAnonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-81624844094440171732011-04-13T10:52:42.838+03:002011-04-13T10:52:42.838+03:00csar έχει απόλυτο δίκιο για τις λύσεις του προβλήμ...csar έχει απόλυτο δίκιο για τις λύσεις του προβλήματος που έθεσες.<br />Όμως ο ορισμός της McCormick είναι ok.<br />Tο δε λήμμα είναι απολύτως σωστό.<br /><br />Το λάθος που έκανα ήταν ότι θεώρησα πως η $f(x)=\frac{4x^2}{1+4x^2}$ είναι McCormick-1 πράγμα που δεν ισχύει. Εκεί έπρεπε να εστιάσεις την κριτική σου και όχι στο πεδίο ορισμού.<br />Ουσιαστικά πλήρωσα τη εμμονή μου στον ορισμό και το λήμμα με την αβλεψία μου στον έλεγχο της συγκεκριμένης $f$. Δικό μου λάθος.<br /><br />Θα ήθελα όμως να εξηγήσω το πως έγινε το λάθος αυτό.<br />Έγιναν τα παρακάτω βήματα.<br />1. Διάβασα την εκφώνιση και παρατήρησα ότι<br /> $x,y,z$<1$ καθώς και τη συμμετρία του προβλήματος$.<br />2. Στη συνέχεια ανέβηκα σε ένα τρακτερ μάρκας McCormick για όλη τη διάρκεια της μέρας.<br />3. Χωρίς μολύβι και χαρτί και μόνο με τη σκέψη προσπάθησα να λύσω το πρόβλημα.<br />4. Δεν θυμώμουν ακριβώς τη συνάρτηση $f(x)$. Nόμισα ότι ήταν η $f'(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$.<br />5. Για την $f(x)$ με $0< x<1$ ισχύουν: $x>x^2>\frac{x^2}{1+x^2}$ και για $x=0$ $f'(0}=0=x$.<br />6. Τότε γενίκευσα το πρόβλημα για οποιαδήπορε συνάρτηση που ικανοποιεί τις ιδιότητες της $f'{x)$. Όρισα τις συναρτήσεις McCormick και απέδειξα το λήμμα. Ήμουν πραγματικά ενθουσιασμένος γιατί όπως είπα όλα έγιναν στο μυαλό.<br />7. Γυρίζω το βράδυ στο σπίτι και ανεβάζω τη λύση όπου μεσα στον ενθουσιασμό μου δεν έλεγξω αν πράγματι η συνάρτηση της εκφώνησης $f(x)$ είναι πράγματι McCormick με αποτέλεσμα την λανθασμένη εφαρμογή όσων είχα βρεί.<br /><br />Τελικά η $f(x)$ δεν είναι McCormick όπως πράγματι έδειξε η λύση 1/2 που ανέφερες. Με έφαγε το τεσσαράκι.<br />Δεν ισχύει $x>4x^2$<br /><br />Ανακαλώ τη λύση στο πρόβλημα της εκφώνησης όμως διατηρώ όλα τα προηγούμενα.<br /><br />Σε ευχαριστώ για το όμορφο παιχνίδι.<br /><br />JR<br />JRAnonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-39194579459743502262011-04-13T08:32:07.434+03:002011-04-13T08:32:07.434+03:00Μία λύση που χάνεται είναι η x = y = z = ½
Το ερώ...Μία λύση που χάνεται είναι η x = y = z = ½<br /><br />Το ερώτημα είναι αν αυτή είναι η μοναδική.csarhttps://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-75045219403035586152011-04-12T19:08:41.120+03:002011-04-12T19:08:41.120+03:00Νομίζω ότι κάνεις λάθος όταν λες ότι το πεδίο ορισ...Νομίζω ότι κάνεις λάθος όταν λες ότι το πεδίο ορισμού της $f^{(k)}$ είναι η τομή των συνόλων.<br />Το πεδίο ορισμού της $f^{(k)}(x)$ είναι το σύνολο των τιμών που επιτρέπεται ή επιτρέπουμε να πάρει το $x$ και όχι το σύνολο των τιμών που δύναται να λάβει η $f^{(k-1)}(x)$ ως όρισμα της τελευταίας εφαρμογής της $f$.<br /><br />Στο πρόβλημά μας η $f(x)=\frac{4^2}{1+4x^2}$ έχει πεδίο ορισμού το [0,1) γιατί έτσι θέλω και πεδίο άφιξης όποιο σύνολο επιθυμώ αρκεί να είναι υπερσύνολο του πεδίου τιμών [0,4/5). Τώρα η $f^2(x)$ από που προκύπτει ότι έχει πεδίο ορισμού το [0,4/5)? <br /><br /><br /><br />Δεν μπορώ να καταλάβω τι εννοείς όταν λές "χάνονται λύσεις". Το ότι η $f$ είναι McCormick συνεπάγεται ότι η $f(x)=x$ έχει μία και μοναδική λύση την $x=0$.<br /><br />Πιστεύω ότι τώρα θα ανακαλέσεις, εκτός αν δώσεις αντιπαράδειγμα, πράγμα για το οποίο αμφιβάλλω...<br /><br />JRAnonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-64854160926096225652011-04-12T09:28:14.058+03:002011-04-12T09:28:14.058+03:00οΤο πρόβλημά μου στο λήμμα είναι το εξής:
Ας πούμ...οΤο πρόβλημά μου στο λήμμα είναι το εξής:<br /><br />Ας πούμε ότι η f είναι McCormick-R1. Εφόσον το πεδίο ορισμού της f είναι το [0,R1) και το πεδίο τιμών της είναι το [0,R2) με R2 < R1, τότε η $f^{(2)}$ έχει ως πεδίο ορισμού το [0,R2) άρα δεν είναι McCormick-R1 αλλά McCormick-R2.<br /><br />Αν εφαρμόσεις τη σύνθεση k φορές, τότε η $f^{(k)}$ θα έχει πεδίο ορισμού το<br />[0,R1)∩[0,R2)∩…∩[0,Rk)<br />ή αν θέλεις το [0,R), όπου R = min{R1,R2,…,Rk}. Δηλαδή η $f^{(k)}$ είναι McCormick-R και όχι McCormick-R1.<br /><br />Έτσι, όταν λες για x > 0: $x>f(x)>f(f(x))>...>f^{(k)}(x)$<br />αυτό ισχύει μεν αλλά στο σύνολο [0,R) και όχι στο σύνολο [0,R1). Μάλιστα επειδή το [0,R) ⊂ [0,R1) είναι πιθανό (και πράγματι έτσι συμβαίνει) να χάνονται λύσεις.csarhttps://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-73361836671970630392011-04-11T22:20:07.481+03:002011-04-11T22:20:07.481+03:00Στη δευτερολογία μου στη δεύτερη σειρά
όπου [0,1)...Στη δευτερολογία μου στη δεύτερη σειρά<br /><br />όπου [0,1) να γίνει [0,R)<br /><br />JRAnonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-32465326804629756232011-04-11T21:59:50.782+03:002011-04-11T21:59:50.782+03:00csar, μάλλον πρέπει να ανακαλέσεις.
Στον ορισμό θ...csar, μάλλον πρέπει να ανακαλέσεις.<br /><br />Στον ορισμό θεωρώ ότι το [0,1) είναι πεδίο άφιξης.<br /><br />Ποιο το πρόβλημα στο λήμμα?<br />Μήπως δεν πρόσεξες την ιδιότητα 1. του ορισμού?<br /><br />Αν x>0<br />x>f(x)>f(f(x))>....>f^{(k)}(x)<br />Άρα x>f^{(k}}<br /><br />Αν και μόνο αν x=0<br />0=f(0)=f(f(0))=....=f^{(k)}(0)<br />Άρα x=f(x) μόνο αν x=0.<br /><br />Άρα f^{(k)}(x) McCormick.<br /><br />Δεν υπάρχει λόγος να μιλάμε για αναζήτηση λύσης στον k-διάστατο χώρο. Με την προτεινόμενη προσέγγιση παραμένω στον αρχικό πεδίο [0,R) οι k εξισώσεις γίνονται μία (σύνθετη μεν). Βρίσκω τη λύση της που είναι ρίζα και για όλες τις k.<br /><br />Συμφωνείς ή όχι?<br /><br />JRAnonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-4300387193352599092011-04-11T09:14:05.031+03:002011-04-11T09:14:05.031+03:00JR, φοβάμαι ότι υπάρχει κάποιο σφάλμα στη λύση σου...JR, φοβάμαι ότι υπάρχει κάποιο σφάλμα στη λύση σου.<br /><br />Κατ΄αρχάς πολύ σωστά παρατήρησες ότι από την πρώτη εξίσωση, έχουμε 0 ≤ y < 1 (και από τις άλλες δύο έχουμε για τον ίδιο λόγο 0 ≤ x,z < 1. Άρα αναζητούμε λύσεις στο D = (0,1)×(0,1)×(0,1) = (0,1)³<br /><br />Στον ορισμό της McCormick-R θεωρώ ότι εννοείς ότι το [0,R) είναι (εκτός από πεδίο ορισμού) το πεδίο τιμών και όχι άφιξης, αλλιώς δεν ισχύει το λήμμα.<br />Όμως τότε η $f(x)=\frac{4x^2}{1+4x^2}$ δεν είναι McCormick-1 διότι το πεδίο τιμών είναι το (0, 0.8) και όχι το (0,1).<br /><br />Ίσως σε βοηθήσει το εξής:<br />Η f είναι McCormick-½. Συνεπώς δεν υπάρχουν λύσεις στο (0,½)³. Τι γίνεται όμως για το υπόλοιπο του D;csarhttps://www.blogger.com/profile/12421741170108119923noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7817884793679862122.post-75694811784867622212011-04-11T01:03:02.260+03:002011-04-11T01:03:02.260+03:00Prima vista x=y=z=0. Είναι όμως η μόνη λύση?
Πάρ&...Prima vista x=y=z=0. Είναι όμως η μόνη λύση?<br /><br />Πάρ' το αλλιώς...<br /><br />Ορισμός: <br />Μία πραγματική συνάρτηση f(x):[0,R)->[0,R) όπου R>0 (R μπορεί και άπειρο) με ιδιότητες:<br />1. x>f(x) για κάθε xε(0,R) και<br />2. x=f(x) αν και μόνο αν x=0.<br />θα την ονομάζω συνάρτηση McCormick-R.<br /><br />Προφανώς, αν η f είναι McCormick-R τότε η εξίσωση f(x)-x=0 έχει μία και μοναδική λύση την x=0.<br /><br />Λήμμα:<br />Αν η f είναι McCormick-R τότε και η k-οστή της σύνθεση g(x)=f^{(k)}(x)=f(f(f(...(f(x))))...) "k φορές εφαρμοφή της f" είναι<br />επίσης συνάρτηση McCormick-R. <br />Απόδειξη: Με επαγωγή ... Ευχαριστώ.<br /><br />Πρόταση:<br />Η συνάρτηση f(x)=(4x^2)/(1+4x^2) με πεδίο ορισμού [0,R=1) είναι συνάρτηση McCormick-1.<br />Απόδειξη: Εεε, τώρα παιδιά είμαστε?<br /><br />Πίσω στο πρόβλημά μας:<br />Από την πρώτη εξίσωση του συστήματος έχουμε 0<=y<1. Και προχωρώ γράφοντας το σύστημα ως μία εξίσωση<br />z=f(y)=f(f(x))=f(f(f(z)))=f^{(3)}(z) η οποία έχει μοναδική λύση z=0, με βάση την παραπάνω πρόταση, το λήμμα και τον ορισμό.<br /><br /><br />Είναι νομίζω φανερό ότι το παρόν ισχύει για οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεων που παρουσιάζει <br />τη συμμετρία της εκφώνησης και που το πλήθος των εξισώσεων τους είναι αυθαίρετο. Αρκεί βέβαια η συνάρτηση που εμφανίζεται να είναι κάποια McCormick. <br /><br />Πχ. Η απάντηση είναι ακριβώς η ίδια και για το σύστημα <br /><br />π*abs(sin(y))=x<br />π*abs(sin(x))=z<br />π*abs(sin(z))=w<br />π*abs(sin(w))=q<br />π*abs(sin(q))=y<br /><br />Στο παράδειγμα αυτό έχουμε την f(x)=π*abs(sin(x)) που είναι McCormick-π. Αφού σας αρέσει το π.<br /><br />Σημείωση: Το όνομα McCormick υπάρχει!! Δεν έχει όμως από όσο ξέρω καμία σχέση με το πρόβλημα ή τα μαθηματικά . Το γιατί ονόμασα τη συνάρτηση McCormick είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα ιστορία <br />για μένα, αλλά μάλλον όχι για κάποιον άλλο.<br /><br />Συγχαρητήρια για την εκφώνηση<br /><br />JRAnonymousnoreply@blogger.com