30 Μαΐ 2011

Μία περίεργη ακολουθία

Ορίζουμε την εξής ακολουθία αριθμών:
f(0) = 0
f(1) = 1
f(n) = ο ελάχιστος ακέραιος, μεγαλύτερος του f(n-1) και τέτοιος, ώστε να μη σχηματίζει αριθμητική πρόοδο με οποιουσδήποτε δύο προηγούμενους αριθμούς.

Η ακολουθία αυτή ξεκινά ως εξής: 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, ...

Ποιος είναι ο f(4100);

25 Μαΐ 2011

Πυθαγόρεια τριπλέτα

Ας είναι οι x, y, z τρεις ακέραιοι, που ικανοποιούν το πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή
x2 + y2 = z2.

Να δειχθεί ότι το γινόμενο xyz διαιρείται από τον 60.

20 Μαΐ 2011

Δύο φορές κορώνα

Κάποιοι αναγνώστες διαμαρτυρήθηκαν ότι τα προβλήματα που θέτω είναι σχετικά εύκολα. Για αυτό θα θέσω μερικά πιο δύσκολα προβλήματα σε αυτό και τα επόμενα ένα-δύο posts.

Ρίχνουμε ένα νόμισμα 100 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα ότι δε θα πάρουμε ποτέ δύο συνεχόμενες φορές κορώνα;

15 Μαΐ 2011

Τριγωνικοί αριθμοί

Να δειχθεί ότι κάθε αριθμός που αποτελείται αποκλειστικά από 1 όταν γράφεται με βάση αρίθμησης το 9 είναι τριγωνικός αριθμός.

Υπενθυμίζω ότι τριγωνικοί είναι οι αριθμοί 1, 3, 6, 10, 15, ... με γενικό τύπο $T(n)=\frac{n(n+1)}{2}$.

Για παράδειγμα ο αριθμός (111)9 είναι ο 92 + 91 + 1 = 91 = Τ(13).

10 Μαΐ 2011

Δυνάμεις του 7

Όπως φάνηκε και από το post "Ο κανόνας του 7", το 7 είναι μία από τις αδυναμίες μου.

Ποια είναι τα τρία τελευταία ψηφία του 710001;

Και με λίγη περισσότερη δουλειά ποια είναι τα τρία τελευταία ψηφία του 72011;

5 Μαΐ 2011

Ο ουρανοξύστης

Το ασανσέρ ενός ουρανοξύστη βρίσκεται στον 87ο όροφο. Κατεβαίνει στον 1ο όροφο και κάνει συνολικά 32 στάσεις σε διάφορους ορόφους (συμπεριλαμβανομένων του 87ου και του 1ου).

Να δειχθεί ότι ασανσέρ σταμάτησε σίγουρα σε δύο ορόφους των οποίων οι αριθμοί διέφεραν κατά 9, 10 ή 19.