π = 2

Σχήμα 1.

Στο Σχ. 1α, τα μικρότερα ημικύκλια εφάπτονται το ένα στο άλλο και το πρώτο και τελευταίο εφάπτονται στα σημεία Α και Β του μεγαλύτερου ημικυκλίου αντίστοιχα.

Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι το άθροισμα των μηκών των μικρών ημικυκλίων ισούται με το μήκος του μεγάλου ημικυκλίου:

$\frac{\pi}{2}\left(\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon\right)=\frac{\pi}{2}AB$

Το ίδιο ισχύει φυσικά και για το Σχ. 1β στο οποίο οι ακτίνες των μικρών ημικυκλίων είναι πολύ μικρές.

Όμως καθώς οι ακτίνες των μικρών ημικυκλίων μικραίνουν αυθαίρετα, κάθε ημικύκλιο τείνει προς τη διάμετρό του και συνεπώς το άθροισμά των μηκών του ημικυκλίων τείνει προς την ΑΒ. Δηλαδή

$AB = \frac{\pi}{2}AB\Rightarrow\pi=2.$

Ο κανόνας του 7

Δεν ξέρω τι μαθαίνουν σήμερα τα παιδιά στο σχολείο αλλά όταν ήμουν εγώ μαθητής, μας είχαν μάθει ότι "κανόνας/κριτήριο διαιρετότητας για το 7, (όπως και για άλλους αριθμούς) ΔΕΝ υπάρχει".

Για τους άλλους αριθμούς δε με ένοιαξε τόσο πολύ. Γιατί να με νοιάζει αν υπάρχει κανόνας π.χ. για το 47; Αλλά για το 7 με είχε νοιάξει... Δεν είμαι σίγουρος αν η δασκάλα μου δεν ήξερε τον κανόνα ή απλά δεν ήθελε να μας μπερδέψει. Πάντως ο κανόνας για το 7 δεν είναι ιδιαίτερα σύνθετος.

Φυσικά το θέμα της διαιρετότητας των αριθμών είναι ένα θέμα ας πούμε παρωχημένο σήμερα (με την εξέλιξη των υπολογιστών, ποιος χρειάζεται να θυμάται τέτοιους κανόνες) και ίσως δεν υπάρχει λόγος να διδάσκεται σήμερα.

Παρόλα αυτά θέλω να μοιραστώ τον κανόνα του 7 για τους εξής λόγους

• ο κανόνας του 7 φαίνεται κατ' αρχάς αλλοπρόσαλλος αλλά και μαγικός με τον τρόπο στον οποίο φτάνει στο αποτέλεσμα
• βασίζεται σε μία πολύ ευρηματική απόδειξη
• γιατί θέλω να κλείσω αυτήν την πληγή από το παρελθόν, βρε αδερφέ

Ο κανόνας του 7

Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού που θέλουμε να ελέγξουμε και αφαιρούμε το διπλάσιο του ψηφίου από το λειψό αριθμό. Αν το αποτέλεσμα διαιρείται από το 7, τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται από το 7. Αν το αποτέλεσμα είναι μεγάλος αριθμός και δεν μπορούμε να αποφανθούμε, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία.

Παράδειγμα

Θα ελέγξουμε τον 24633

• 2463 - 3×2 = 2457
• 245 - 7×2 = 231
• 23 - 1×2 = 21

Άρα ο 24633 διαιρείται από το 7.

Θα είχε ενδιαφέρον αν κάποιος μπορούσε να εξηγήσει πώς προκύπτει αυτός ο κανόνας διαιρετότητας.

Ο νόμος του Benford

Ο νόμος του Benford (ή αλλιώς νόμος του πρώτου ψηφίου) λέει ότι όταν έχουμε αριθμητικά δεδομένα (στατιστικά ή μετρήσεις) συχνά συμβαίνει το πρώτο ψηφίο των αριθμών να ακολουθεί μη-ομοιόμορφη κατανομή. Σύμφωνα με το νόμο αυτό, το πρώτο ψηφίο είναι 1 περίπου στο 30% των περιπτώσεων, 2 στο ≈17.5% των περιπτώσεων, 3 στο ≈12.5% των περιπτώσεων, ..., 9 στο ≈4,5% των περιπτώσεων.

Πιο συγκεκριμένα οι αριθμοί 1,2,...,9 λέμε ότι ικανοποιούν το νόμο του Benford αν η συνάρτηση πιθανότητας τους είναι 

$P(x) = \log_{10}(x+1)-\log_{10}(x) = \log_{10}\left(1+\frac{1}{x}\right),\quad x=1,2,\ldots, 9$.

Αυτός ο ίσως αντι-διαισθητικός νόμος έχει αποδειχθεί ότι ισχύει σε διάφορα δεδομένα όπως λογαριασμούς ηλεκτρικού, τιμές μετοχών, μήκη ποταμών, φυσικές και μαθηματικές σταθερές και άλλα. Φαίνεται ότι ισχύει με μεγαλύτερη ακρίβεια για δεδομένα των οποίων οι τιμές εκτείνονται σε πολλές τάξεις μεγέθους.

Πήρε το όνομά του από το φυσικό Frank Benford, ο οποίος ενώ εργαζόταν στην General Electric το 1938 παρατήρησε ότι στα βιβλία με λογαριθμικούς πίνακες οι σελίδες που αντιστοιχούσαν σε αριθμούς που άρχιζαν με το ψηφίο 1 ήταν πολύ πιο τσαλακωμένες και βρώμικες (άρα πολύ πιο χρησιμοποιημένες) από τις άλλες σελίδες. (Εκείνη την εποχή και ελλείψει υπολογιστών χρησιμοποιούσαν ως αναφορά βιβλία με πίνακες για τις τιμές διάφορων συναρτήσεων όπως λογαρίθμων, ημιτόνων, συνημιτόνων κλπ).

Σήμερα ο νόμος του Benford θεωρείται ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για τον εντοπισμό λογιστικών ατασθαλιών, καταχρήσεων, φοροδιαφυγής κλπ. Η λογική είναι ότι αν κάποιος προσπαθήσει να παράξει ένα σύνολο από τυχαία δεδομένα, τότε προσπαθεί να τα κάνει κατά το δυνατό ομοιόμορφα, διότι θεωρεί ότι αυτό δείχνει μεγαλύτερη τυχαιότητα. Στην πραγματικότητα όμως για πραγματικά δεδομένα πολύ συχνά ισχύει ο νόμος του Benford.

Ο νόμος του Benford aναφέρθηκε και στο επεισόδιο "The running man" της τηλεοπτικής σειράς Numb3rs.

Πηγή: The first digit phenomenon του T.P. Hill, American Scientist.

Tο πρόβλημα των γενεθλίων

Το πρόβλημα των γενεθλίων συχνά απαντάται και ως το "παράδοξο των γενεθλίων" Στην πραγματικότητα δεν είναι παράδοξο, απλά δίνει ένα αποτέλεσμα που είναι τελείως ενάντια στη διαίσθησή μας.

Διατύπωση

Ας υποθέσουμε ότι σε ένα χώρο βρίσκονται n άνθρωποι τυχαία επιλεγμένοι. Ζητάμε να βρούμε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός n, ώστε τουλάχιστον δύο από αυτούς τους ανθρώπους να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα με πιθανότητα μεγαλύτερη από (α) 50% και (β) 99%.

Για να παραμείνει το πρόβλημα απλό, κάνουμε τις εξής παραδοχές:

• όλα τα έτη έχουν 365 μέρες
• κάθε μία από τις 365 μέρες του χρόνου είναι το ίδιο πιθανή για να γεννηθεί κάποιος.

Προφανώς ο ελάχιστος αριθμός να έχουμε σίγουρα δύο άτομα που έχουν την ίδια μέρα γενέθλια είναι 366 (προκύπτει από την αρχή του περιστερώνα) άρα θεωρούμε n ≤ 365.

Λύση

Αν είναι p η ζητούμενη πιθανότητα (δηλαδή τουλάχιστον δύο άτομα από τα n να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια), τότε είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε τη συμπληρωματική της πιθανότητα q, δηλαδή την πιθανότητα όλα τα άτομα να έχουν διαφορετική μέρα γενέθλια. Τότε p = 1 - q.

Αυτό που θα κάνουμε είναι να αριθμήσουμε όλα τα άτομα από 1 ως n και θα ελέγχουμε κάθε φορά αν κάποιο άτομο έχει γενέθλια ίδια μέρα με κάποιο από τα προηγούμενα άτομα.

Ας είναι P_i (1 ≤ i ≤ n) η πιθανότητα το άτομο i να μην έχει ίδια μέρα γενέθλια με κανέναν από τους 1,2,...,i-1. Τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι

q = P₁P₂⋅⋅⋅P_n,

επειδή τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα

Ας δούμε αναλυτικά όλες αυτές τις πιθανότητες:

• P₁ = 1: το άτομο 1 σίγουρα δεν έχει ίδια μέρα γενέθλια με κάποιον προηγούμενό του, αφού απλά δεν υπάρχει προηγούμενός του.
• P₂ = 364/365: το γεγονός το 2^ο άτομο να μην έχει ίδια μέρα γενέθλια με το 1^ο είναι ισοδύναμο με το γεγονός να έχει γενέθλια μία από τις υπόλοιπες 364 μέρες του χρόνου. Άρα η πιθανότητα είναι (ευνοϊκές περιπτώσεις προς συνολικές περιπτώσεις) 364/365.
• P₃ = 363/365: το γεγονός το 3^ο άτομο να μην έχει ίδια μέρα γενέθλια με το 1^ο ή το 2^ο είναι ισοδύναμο με το γεγονός να έχει γενέθλια μία από τις υπόλοιπες 363 μέρες του χρόνου. Άρα η πιθανότητα είναι (ευνοϊκά γεγονότα προς συνολικές περιπτώσεις) 363/365.
• ...
• P_n = (365-(n-1))/365.

Άρα έχουμε

$q = P_1P_2\cdots P_n = \frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\cdots\frac{366-n}{365} = \frac{365\times364\times\cdots[365-(n-1)]}{365^n}$

ή πιο συμμαζεμένα

$q = \frac{365!}{(365-n)!365^n}$

όπου $n!=1\times2\times\ldots\times n$.

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι $p = 1-q = 1 - \frac{365!}{(365-n)!365^n}$.

Δοκιμάζοντας για διάφορα n, βλέπουμε ότι

• p ≈ 50.7% για n = 23 και
• p ≈ 99.0% για n = 57.

Τα αποτελέσματα αυτά προκαλούν αρχικά μεγάλη έκπληξη.

Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν 365 διαφορετικές ημερομηνίες, είναι πιο πιθανό δύο από μόλις 23 άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα παρά να μην έχουν!

Ακόμα πιο εντυπωσιακό είναι ότι αν έχουμε μόλις 57 άτομα, είναι σχεδόν σίγουρο (κατά 99%) ότι δύο από αυτά θα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα!

Το φαινομενικό αυτό παράδοξο γίνεται λιγότερο απίστευτο αν αναλογιστούμε τα εξής:

• ψάχνουμε την πιθανότητα δύο οποιαδήποτε άτομα να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια και όχι κάποιο άτομο να έχει την ίδια μέρα γενέθλια με κάποιο συγκεκριμένο εκ των προτέρων άτομο.
• παρά το γεγονός ότι μιλάμε για 23 και 57 άτομα, το σωστό είναι σκεφτόμαστε όχι για πόσα άτομα μιλάμε αλλά για το πόσα ζεύγη (συνδυασμοί ανά δύο) ημερομηνιών δημιουργούνται από 23 και 57 άτομα αντίστοιχα. Για την ακρίβεια οι αριθμοί αυτοί είναι 253 και 1596 αντίστοιχα.

Παιχνίδι με κέρματα

Ας θεωρήσουμε ένα παιχνίδι με τους εξής κανόνες:

• στήνουμε 10 κέρματα όπως στο Σχ. 1
• δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ
• όποιος πάρει το τελευταίο κέρμα κερδίζει
• σε κάθε γύρο ένας παίκτης μπορεί να πάρει ένα κέρμα ή δύο αλλά μόνον από διαδοχικές θέσεις. Για παράδειγμα κάποιος δεν μπορεί να πάρει το 1 και το 3 ακόμα κι αν το 2 έχει αφαιρεθεί σε κάποιον προηγούμενο γύρο.

Υπάρχει βέλτιστη στρατηγική που μπορεί να ακολουθήσει κάποιος παίκτης, ώστε να κερδίσει σίγουρα;