20 Απρ 2011

Η τετράγωνη τούρτα

Η Ιωάννα έφτιαξε μία τετράγωνη τούρτα για τα γενέθλιά του Δημήτρη, την οποία είχε αλείψει με σοκολάτα από πάνω και στο πλάι.

Οι δικαιούχοι κομματιού τούρτας ήταν 9 (ο Δημήτρης και οι 8 φίλοι του).

Πώς μπορούμε να κόψουμε την τούρτα, ώστε να πάρουν όλοι την ίδια ποσότητα τούρτας και την ίδια ποσότητα σοκολάτας; (ακριβέστερα πώς πρέπει να κοπεί η τούρτα ώστε να πάρουν όλοι τον ίδιο όγκο τούρτας και την ίδια επιφάνεια σοκολάτας)

4 σχόλια:

  1. Έστω $N$ οι φίλοι του Δημητράκη.

    Έστω $a$ η πλευρά της τούρτας και $b$ το ύψος της.

    Διαιρούμε κάθε πλευρά σε Ν ίσα τμήματα. Αν το $N$ είναι σύνθετος τότε αυτή η διαίρεση είναι σχετικά εύκολη (διαδοχική διαίρεση). Αν είναι πρώτος και σχετικά μεγάλος τότε θέλεις πολύ καλό μάτι και σταθερό χέρι.
    Όταν ολοκληρωθεί αυτό το επίπονο έργο σχηματίζονται κατά μήκος της περιμέτρου της τούρτας $4Ν$ ίσα τμήματα μήκους $d=a/N$.

    Μετά βρίσκεις το κέντρο της τούρτας (τομή των διαγωνίων της). Τότε κάθε τριγωνάκι που σχηματίζεται από δύο διαδοχικά σημεία της περιμέτρου και το κέντρο της τούρτας έχει σοκολάτα $S_p=d*((a/4)+b))=(a^2/4+ab)/N$ και όγκο $V_p=b*d*a/4=(a^2/4)b/N$.

    Κάθε φίλος του Δημήτρη δικαιούται 4 τέτοια τριγωνάκια, οπότε θα απολαύσει
    $S_f=4S_p=(a^2+4ab)/N$ σοκολάτα και
    $V_f=4V_p=a^2b/N$ τούρτας.

    Αν σκεφτούμε ότι η συνολική σοκολάτα είναι $S_t=a^2+4ab$ και η τούρτα $V_t=a^2b$, τότε δεν θα υπάρξει κανένα παράπονο.

    Χρόνια πολλά!

    JR

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αν η Ιωάννα δεν έχει τετράγωνο ταψί αλλά ορθογώνιο ισχύει ο ίδιος τρόπος χωρισμού. Κάθε φίλος του Δημήτρη θα πάρει 2 τριγωνάκια από τη μικρή πλευρά του ορθογωνίου και άλλα 2 από τη μεγάλη.

    JR

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ωραία λύση!

    Κι αν θέλαμε να δώσουμε ένα κομμάτι θα μπορούσαμε απλά να πάρουμε διαδοχικά τμήματα μήκους $\frac{4a}{N}$ (αν φτάνουμε στο τέλος της πλευράς, τότε συνεχίζουμε μετά τη γωνία) και να κόψουμε τα κομμάτια από το κέντρο. Τότε

    - όλα τα τρίγωνα που σχηματίζονται έχουν ίδιο ύψος, $\frac{a}{2}$, και ίδια βάση, $\frac{4a}{N}$ άρα και ίδιο εμβαδό $\frac{a^2}{N}$.

    - Τα τετράπλευρα έχουν επίσης εμβαδό $\frac{a^2}{N}$ (γίνεται φανερό αν τα χωρίσουμε σε δύο τρίγωνα: έχουν το ίδιο ύψος, $\frac{a}{2}$, και το άθροισμα των βάσεών τους είναι $\frac{4a}{N}$.

    Αυτή η λύση είναι ακριβώς ό,τι κάνουμε όταν έχουμε μία κυκλική τούρτα!

    ΑπάντησηΔιαγραφή